Структура презентации для урока по вычислению интегралов

Как вычислять и где применять интегралы

Зачем нужны интегралы?

• Интегралы нужны для вычисления совокупного значения некоторой величины , которая изменяется с течением времени или в зависимости от положения в пространстве. 
• Вот ещё несколько областей, где применяются интегралы:
• Экономика . С их помощью можно рассчитать стоимость, изучив зависимость потребности от предложений, вычислить время выполнения работы с учётом усталости людей, узнать, как изменяется долг по кредиту в течение времени. 
• Биология . Например, при помощи интегралов узнают прирост популяции видов. 
• Медицина . Интегралы используют в различных исследованиях, например, в томографии. 
• Астрономия . С их помощью рассчитывают передвижение космических объектов. 

Где применять интегралы?

• Вычисление площадей под графиками функций, объёмов тел, центров тяжести заданных фигур . 
• Решение задач, связанных с изменением величин в пространстве , таких как вычисление массы объектов неоднородного характера, расчёт пройденного пути, когда движение производилось неравномерно. 
• Прогнозирование разнообразных явлений  в тех или иных областях науки и техники. 
• Решение дифференциальных уравнений, задач, связанных с оптимизацией и моделированием . 
• Оценка данных опросов  в статистике. 
• Оценка численности населения  с течением времени и прогнозирование будущих тенденций изменения численности населения. 
• Обработка изображений  в информатике для обнаружения границ и выделения объектов. 

Как вычислять интегралы?

• Для вычисления определённого интеграла  нужно воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница: 
• Найти первообразную F(x), то есть неопределённый интеграл (константу C не добавлять). 
• Подставить b в первообразную, найти F(b). 
• Подставить a в первообразную, найти F(a). 
• Найти разность F(b) — F(a). 
• Для вычисления неопределённого интеграла  нужно определить его первообразную F(x). В математической записи это выглядит так: ∫ f(x)dx=F(x) + C, где f(x) — функция, которую интегрируют, F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, которая возникает из-за неопределённости. 
• Для вычисления неопределённых интегралов используются базовые правила, например: правило степенного интегрирования, интеграл от константы, интеграл от экспоненциальной функции, интеграл от синуса и косинуса. 
• В ряде случаев интегрирование требует применения специальных методов, таких как интегрирование по частям или замена переменной. Более подробный список можно посмотреть в таблице интегралов. 

Исторические данные

Как появились интегралы.

• Интегральный метод зародился в трудах древнегреческого учёного Архимеда  (III век до нашей эры) при вычислении им площадей и объёмов некоторых фигур и тел. Архимед предвосхитил многие идеи этого метода, но потребовалось свыше полутора тысяч лет, прежде чем они получили чёткое математическое оформление и превратились в интегральное исчисление. 
• Первым известным методом для расчёта интегралов  является  метод исчерпывания древнегреческого математика, механика и астронома Евдокса  (примерно в 370 году до н. э.). Суть этого метода заключалась в том, что фигура, площадь или объём которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. 
• Принципы интеграции независимо сформулировали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц  в конце XVII века. Они доказали, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. 

Исторические факты

• Аналогичные методы  были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком  Лю Хуэйем , который с их помощью находил площадь круга. 
• Следующий значительный толчок  в исчислении интегралов состоялся в 16 веке в работах итальянского математика  Бонавентура Франческо Кавальери  (1598 — 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика  Пьера де Ферма  (1601 — 1665). Этими учёными были заложены основы современного интегрального исчисления. 
• Современное обозначение неопределённого интеграла  было введено немецким учёным  Готфридом Вильгельмом Лейбницем  в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы «длинная s» (от первой буквы слова Summa — сумма). 
• Современное обозначение определённого интеграла , с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком  Жаном Батистом Жозефом Фурье  в 1819–20 годах. 
• Сам термин «интеграл»  придумал швейцарский математик  Якоб Бернулли  в 1690 году.