Сценарий занятия по математике на тему «Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами»

Сценарий занятия по математике на тему «Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами»

Преподаватель математики Пересыпкина Елена Алексеевна,

ГОБПОУ «Липецкий машиностроительный колледж»

Тип урока: ОНЗ

Тема «Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами»

Основные цели:

Метапредметные:

1) Тренировать владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания.

2) Тренировать умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность.

3) Тренировать умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности.

Предметные:

1. Сформировать понятие комплексного числа.

2. Сформировать умение выполнять действия с комплексными числами

3. Тренировать умение выполнять действия с действительными числами. Сформировать навыки решения уравнений с отрицательным дискриминантом.

Оборудование

1) Демонстрационный материал:

2) Раздаточный материал.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Регулятивные: волевая саморегуляция.

Личностные: действие смыслообразования

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и со сверстниками.

− Добрый день, ребята!

– Какую тему вы повторяли на предыдущих уроках? (Действия с действительными числами, решение квадратных уравнений)

–Кто-нибудь из вас задумывался, существуют ли числа, не принадлежащие множеству действительных чисел? Можете ли вы представить, какие это числа, какими свойствами обладают? Сегодня мы будем размышлять над этим вопросом.

– Прочитайте, пожалуйста, высказывание известного советского математика Наума Яковлевича Виленкина «Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости»

– Как вы понимаете эти слова? (Как взятие труднодоступной крепости требует терпения, упорства, владения тактикой и стратегией -так и решение трудной математической проблемы невозможно без знания основных математических понятий, методов, приемов и твердости в достижении цели)

– Сегодня при изучении нового материала вы будете продолжать расширять свои знания о множествах чисел и действиях с числами.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Познавательные:

общеучебные: умение структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

логические: анализ, синтез, выбор оснований для сравнения.

Регулятивные: контроль - в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

коррекция — внесение необходимых дополнений и корректив.

–Выполняется взаимная проверка выполненных домашних работ учащимися и повторение основных свойств сложения , вычитания, умножения, деления и сравнения действительных чисел, решения квадратных уравнений

− Проверьте правильность выполнения, воспроизведите понятия, которые использовали. Если при выполнении задания у кого-то возникли затруднения, ошибки необходимо исправить, на работу 3 минуты.

− Что вы сейчас повторили по теме «Действительные числа. Действия с действительными числами»? (Основные свойства сложения , вычитания, умножения, деления и сравнения действительных чисел, свойства арифметического квадратного корня из положительного числа).

-Вы знаете определение арифметического квадратного корня из положительного числа. А также вам известно, что квадратный корень из отрицательного числа не существует, т.к. нет такого действительного числа , которое при возведении в квадрат равно отрицательному числу.

–Подготовку к открытию начнете с выполнения следующего задания

Решите уравнение

а) x²-49=0; б) 9x²-4=0; в) 64x+4x²=0;

Решение:

а) x²=49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7

б)

в) 64x+4x²=0. Вынесем общий множитель 4х за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

– Что повторили? (Для выполнения задания использовали определения арифметического квадратного корня, действия с действительными числами)

– Задание на пробное действие:

Решите уравнение x²+1=0

Учащиеся самостоятельно пытаются выполнить задание. Время на выполнение задания ограничено.

3. Выявление места и причины затруднения

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Познавательные:

общеучебные:умение структурировать знания;

постановка и формулирование проблемы;

умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание

логические ; анализ объектов с целью выделения признаков

-Ответьте на вопросы:

1) какое задание должны были выполнить;

2) в каком месте и почему возникло затруднение?

Возможные варианты ответов:

– Необходимо было назвать число, квадрат которого равен отрицательному числу. Затруднение возникло в том, что в множестве действительных чисел извлекать корень квадратный из отрицательного числа нельзя. Причина в том, что мы пока не знаем какое число после возведения в квадрат равно отрицательному числу.

4. Построение проекта выхода из затруднения

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Регулятивные: целеполагание, как постановка учебной задачи,

планирование, прогнозирование.

Познавательные:

общеучебные : постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий

− Подумайте и сформулируйте цель дальнейшей деятельности;

Возможный вариант ответа:

Цель: Узнать, как извлечь корень квадратный из отрицательного числа, и какое число после возведения в четную степень равно отрицательному числу.

– Составьте план ваших действий.

Возможный вариант ответа:

1. Выполнить задания, предложенные учителем, проанализировать результаты.

2. Сформулировать выводы.

3. Сравнить с эталоном.

5. Реализация построенного проекта

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Коммуникативные:планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; умение выражать свои мысли.

Познавательные:

общеучебные: поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска; смысловое чтение и выбор чтения в зависимости от цели; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание;

логические: построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез.

постановки и решения проблем: самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера.

– Выполните следующие задания.

Вычислите:

а) ; б);

Возможный вариант ответа:

1.По свойству корней =·

а) ==·=3·

б) ===4·

2.Но корня квадратного из (-1) на множестве действительных чисел не существует. Может быть, надо ввести новое число?

-Ребята, как бы вы назвали новое число?

Возможный вариант ответа:

1)Несуществующая единица,

2) Невозможное число,

3) Число, которое равно

– Выполните с помощью нового эталона задание на пробное действие.

а ) ==·=3·=3i

б) ===4·=4i.

– Удалось преодолеть затруднение?

– Важно, что при таком определении, сохраняются все основные свойства действий с действительными числами. А понятие мнимой единицы можно расширить до определения комплексного числа

6. Первичное закрепление во внешней речи

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Коммуникативные: управление поведением партнера;

умение выражать свои мысли.

Регулятивные: контроль - в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

коррекция — внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия

оценка — выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что ещё нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

Познавательные:

общеучебные: выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности

– Выполните задания

Даны два комплексных числа Z₁= (7 + 2i ) и Z₂=(3 – 4i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное

Учащиеся выполняют задания под руководством учителя, обращая внимание на применение новых определений и свойств.

Пример: (5+3i)+(3−i)=8+2i(5+3i)+(3−i)=8+2i

Пример: . (5+3i)−(3−i)=2+4i(5+3i)−(3−i)=2+4i

Пример: (3+2i)⋅(4−i)=12−3i+8i−2i2=14+5i(3+2i)⋅(4−i)=12−3i+8i−2i2=14+5i

Пример: Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Пример

– Выполните задания в парах.

Задание выполняется в парах, по вариантам. Проверка проводится по подробному образцу

Ответы:

После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то проговаривается, как надо было выполнить задание.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Регулятивные: контроль - в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

коррекция — внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия

оценка — выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что ещё нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения; оценка результатов работы

Познавательные:

общеучебные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

контроль и оценка процесса и результатов деятельности

− Что дальше необходимо сделать?

− С какой целью вы будете выполнять самостоятельную работу?

Для самостоятельной работы учащимся предлагается выполнить следующие задания

Вариант 1

Задание 1. Выполните все действия(сложение, вычитание, умножение, деление) с комплексными числами:

;

Задание 2. Решите уравнение:

;

Вариант 2

Задание 1. Выполните все действия(сложение, вычитание, умножение, деление) с комплексными числами:

;

Задание 2. Решите уравнение:

;

Вариант 3

Задание 1. Выполните все действия(сложение, вычитание, умножение, деление) с комплексными числами:

_;

Задание 2. Решите уравнение:

Вариант 4

Задание 1. Выполните все действия(сложение, вычитание, умножение, деление) с комплексными числами:

_;2+4i

Задание 2. Решите уравнение:

;

Учащиеся выполняют самостоятельную работу и проводят самопроверку по эталону для самопроверки

− Проанализируйте результаты выполнения самостоятельной работы: назовите, в каких местах и почему возникли затруднения.

8. Включение в систему знаний и повторение.

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Регулятивные: прогнозирование- предвосхищение результата и уровня усвоения знаний

Познавательные:

общеучебные: выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

контроль и оценка процесса и результатов деятельности

заданиях1-2 учащиеся формируют умение применять определение и свойства комплексных чисел при выполнении различных арифметических действий

1.Даны комплексные числа , .Найти частное 

2. Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

В заданиях 3-4 учащиеся тренируют умение решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом и уравнения с комплексным коэффициентами.

Решение:

3. Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и

По известным формулам получаем два корня:

 – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: , 

4. Решить уравнения:

а) х² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;
б) х² + (1 – 2i) х – 2i = 0;

9. Рефлексия деятельности на уроке

УУД, формирующиеся на данном этапе:

Познавательные:

общеучебные: умение структурировать знания;

оценка процесса и результатов деятельности

Коммуникативные: умение выражать свои мысли.

Регулятивные: волевая саморегуляция; оценка – выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.

-Ребята, как вы думаете, что имел в виду испанский физик, исследователь Хорхе Вагенсберг, говоря что «Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел»?

− А теперь каждый проанализируйте свою работу.

Учащиеся заполняют индивидуальные карточки :

Домашнее задание