Тема занятия: «Математические основы кредитов»

Тема занятия: «Математические основы кредитов»

Цель: знакомство обучающихся с математической основой решения задач на аннуитетный тип платежа

Задачи: 1) познакомить с особенностями кредитов, терминологией,

2) познакомить обучающихся с математической основой расчета кредитов,

3) способствовать развитию навыков групповой работы,

4) повысить финансовую грамотность обучающихся

Тип занятия- комбинированной

Формы работы: в парах, группах, индивидуально

Ход занятия

1.Вводная часть. Беседа.

Сегодня на занятии мы познакомимся с математическими основами решения задач на кредиты.

Что такое кредит? Кредит представляет собой финансовую операцию, при которой одна сторона (кредитор) предоставляет средства во временное пользование другой стороне
(заёмщику) на определённых условиях: возраст и гражданство, кредитная история, стабильность доходов заёмщика должны соответствовать требованиям кредитора.

Каковы особенности кредита?

 процентная ставка. Что она показывает?
 Ставка оказывает, сколько процентов от суммы кредита заемщик заплатит банку
за пользование его деньгами за год. Как правило, процент начисляется на
остаток долга, то есть чем дольше клиент гасит кредит, тем меньше сумма.

Как возвращается сумма кредита? При этом возвращать нужно не всю сумму разом, а небольшими частями каждый месяц, что облегчает нагрузку на персональный бюджет.

Какие виды кредитов вы знаете? (потребительский кредит, автокредит, образовательный ипотечный, кредитные карты).

Задачи на ЕГЭ, связанные с кредитами. их решение

В школе эта тема чаще всего используется в задачах ЕГЭ. Рассмотрим их.

Существует два типа платежа:
 Аннуитетный (остается неизменным)
 Дифференцированный (становится меньше каждый раз)

В ЕГЭ встречаются задачи, в которых используются оба вида платежа.
В формировании платежей имеется существенное различие, более
существенное, чем в любом другом составляющем кредита, а потому задачи
разделим на типы именно по этому критерию.

Данная тема встречается во второй части варианта ЕГЭ. За решение предусмотрено два балла: 1 балл, если составлена математичкам модель задачи. 2 балла -задача решена полностью.

Прежде чем приступить к выполнению заданий, рассмотрим алгоритм их решения.

Алгоритм решения задач на кредиты (учащиеся получают карточки)
1. Ввести переменные
На этом этапе переменными удобно будет обозначить всю сумму кредита,
ставку в процентах и величину того, на сколько увеличивается сумма
каждый период.
2. Составить таблицу

Остаток = сумма кредита с процентами – платеж

Каждый остаток переносится на следующую строку в столбец «сумма на
начало периода».
3. Составить математическую модель, учитывая, что если кредит погашен
полностью, то последний остаток равен 0.
Как правило, для этого задания составляется уравнение, неравенство или
система уравнений или неравенств, учитывая условие задачи. Могут быть
выражения.
4. Работа с математической моделью.
5. Надо решить уравнение, системы уравнений, неравенств или смешанную
систему.
6. Ответ

Рассмотрим примеры задач на кредиты из ЕГЭ по математике профильного уровня.

2. Коллективная работа с использованием алгоритма действий. Задачи на аннуитетный платеж и их решение. (учащиеся получают карточки- задания. Приложение)

Задача1. В июле 2026 года планируется взять в банке на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

-каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения на 234 090 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение

1. Обозначаем переменными параметры для удобства.

Пусть S-сумма кредита,

x-сумма платежа (ежегодного, т.к. в ЕГЭ представлено упрощенное видение),

q-процентная ставка, выраженная в дробном показателе, т.е. ставка/100,

n=1+q-коэффициент, показывающий, во сколько раз возрос остаток по кредиту за определенный период (в задаче-за год), т.е. по-другому n=100%+(ставка в эквиваленте процентов), тогда можем составить следующую таблицу:

Остаток периода переносится на следующую строку с столбец «сумма на нач. периода».

2. Так как по условия кредит был полностью погашен, то последний остаток равен нулю. Тогда получаем уравнение:

Sp³-xp²-xp-x=0

3. Подставим известные данные, получим:

1,3³S-1,3²x-1,3x-x=0

x=2,197S/3,99

Известно, что сумма всех платежей больше, чем тело кредита на 234 090, значит,

3x=S+234 090

3(2,197S/3,99)=S+234 090

S=234 090*1,33/(2,197-1,33)=359 100(рублей)

Ответ: 359 100

Задача 2. Работа в группах. Решение одна из групп представляет на доске. Учитель анализирует , сколько баллов можно поставить за решение.

В банке взяли кредит 420 200 рублей на пять лет под 25% годовых и выплатили пятью равными платежами. Чему равна общая сумма выплат в рублях после полного погашения кредита?

Решение

1. Обозначим переменными параметры для удобства

S=420 200 рублей,

p=1,25-коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличился остаток,

x-платеж.

2. Составим таблицу на основе этих данных

После заполнения третьей строки можно увидеть зависимость между степенями и номером платежа. Используем ее и заполняем последнюю строку.

По условию кредит погашен полностью, значит, последний остаток равен нулю, следовательно,

Sp⁵-xp⁴-xp³-xp²-xp-x=0,

Sp⁵-x(p⁴+p³+p²+p+1)=0.

x=Sp⁵/(p⁴+p³+p²+p+1)

Подставим значения и решим уравнение.

x=420,2*1,25⁵/(1,25⁴+1,25³+1,25²+1,25+1)

x=156,25 тысяч рублей

x=156 250 рублей

5*156 250=781 250(рублей)

Ответ: 781 250

Задача 3. Работа в парах. (учитель проверяет задачу)

В начале года предприниматель взял в банке кредит 5 985 000 рублей на три года под 30% годовых. Условия возврата таковы:

-в конце каждого из трех лет банк сначала увеличивает долг, имеющийся в начале года на 30 %, затем клиент вносит необходимую сумму
(платеж);

-клиент вносит в банк каждый год одну и ту же сумму.

Сколько рублей составляет этот ежегодный платеж.

Решение

1. Обозначим условия и внесем данные в таблицу

S=5 985 000-тело кредита,

x-платеж,

p=1,3-коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличился остаток

По условию кредит был погашен полностью, значит,

Sp³-xp²-xp-x=0

x=Sp³/(p²+p+1)

Подставим значения и найдем х.

х=5 985 000*1,3³/1,3²+1,3+1=3 295 500(рублей)

Ответ: 3 295 500

Задача 4. Индивидуальная работа . Учитель проверяет решение. (Обучающийся, у которого правильно решена задача, проверяет у других учащихся)

Банк «Будь здоров» предлагает кредит на 3 года на покупку курортного лечения стоимостью 165 500 рублей на следующих условиях:

-раз в год банк начисляет на остаток долга 10%;

-после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения долга;

-клиент выплачивает кредит необходимыми равными ежегодными платежами.

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Решение

1. Обозначим условия и составим таблицу

Переплатой является разница между суммой всех платежей и телом кредита, то есть 3x-S. Нужно найти х.

Известно, кредит был погашен полностью, значит,

Sp³-xp²-xp-x=0

х=Sp³/(p²+p+1)

х=66 550

Значит, переплата составила

66 550*3-165 500=34 150(рублей)

Ответ: 34 150

Задача 5 (Домашнее задание)

Предприниматель Александр взял в банке кредит 500 тыс. рублей на 4 года. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого года банк начисляет 20% на долг, который имеет предприниматель на конец этого года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж, который одинаков во все годы, кроме четвёртого, в котором платёж равен 163,2 тыс. рублей, и этим закрывается кредит. Какую сумму ежегодных платежей внёс предприниматель в банк при погашении этого кредита за 4 года?

Решение

1. Обозначим условия и составим таблицу

S=500 тыс. рублей-тело кредита,

p=1,2-коэффициент, показывающий, насколько увеличился остаток кредита,

x-платеж.

Известно, что кредит был полностью погашен, значит,

Sp⁴-xp³-xp²-xp-163,2=0

Выразим х.

х(р³+р²+р)=Sp⁴-163,2

х=(Sp⁴-163,2)/(р³+р²+р)

х=(500*1,2⁴-163,2)/(1,2³+1,2²+1,2)=200

Сумма всех платежей находится следующим образом:

3*200+163,2=763,2 (тысячи рублей)

Ответ: 763,2 тыс. руб.

Рефлексия.

1. Что нового вы узнали на занятии.?

2. В чем математическая особенность решения задач на кредиты?

3. Что надо запомнить, решая задачи на кредиты?

4. Все ли виды задач мы рассмотрели?