Теорема о трех перпендикулярах

09.01.23

Классная работа

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Повторение

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Определение.

a

a

N

S

A

D

F

H

Повторение. По графической иллюстрации к определению, сформулировать словесную формулировку понятия.

09.01.23

2

Повторение

q

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

p ,

a p,

a

q ,

a

a q,

p

Повторение. По графической иллюстрации к определению и записи на языке символов, сформулировать словесную формулировку признака.

09.01.23

3

Планиметрия

Стереометрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Отрезок АН – перпендикуляр

Точка Н – основание перпендикуляра

Отрезок АМ – наклонная

Точка М – основание наклонной

Отрезок МН – проекция

наклонной на прямую а

Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость

09.01.23

4

Стереометрия

Планиметрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

плоскости

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

09.01.23

5

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

П

Е

Р

П

Е

Н

Д

И

К

У

Л

Я

Р

Проекция

Проекция

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

09.01.23

6

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

II

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется

расстоянием между параллельными плоскостями.

09.01.23

7

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

a

a II

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

09.01.23

8

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

a

a b

a II

b

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

09.01.23

9

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

В

А

09.01.23

В

П-Р

Н-Я

Н-Я

С

П-Я

П-Я

M

А

09.01.23

11

С

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 60 0 . Угол между наклонными 90 0 . Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.

A

К

60 0

В

60 0

09.01.23

12

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .

A

?

В

С

М

09.01.23

13

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

09.01.23

13

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

09.01.23

15

Обратная теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

09.01.23

16

Н-я

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

К

П-Р

В

П-я

М

А

Л.С. Атанасян №148.

С

TT П

BC A М

BC M К

П-я

Н-я

09.01.23

17

Н-я

Отрезок А D перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, А D = 12 см.

Найдите расстояния от концов отрезка А D до прямой ВС.

D

П-Р

В

12

П-я

6

N

А

5

Л.С. Атанасян №149.

С

TT П

BC AN

BC DN

П-я

Н-я

А N и DN – искомые расстояния

09.01.23

18

П-я

Н-я

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 60 0 , A С= 1 2см. DC (АВС). DC = Найдите расстояния:

а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.

D

TT П

AB DN

АВ С N

Н-я

П-я

П-Р

CN и DN – искомые расстояния

С

12

А

60 0

Л.С. Атанасян №149.

N

В

09.01.23

19

Н-я

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =

М

П-Р

А

4

П-я

F

С

Л.С. Атанасян №1 5 5.

В

TT П

A В С F

A В MF

П-я

Н-я

М F – искомое расстояние

09.01.23

20

Н-я

т

Один из катетов прямоугольного треугольника равен т , а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая С D , перпендикулярная к плоскости этого треугольника, С D = n . Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

n

D

П-Р

А

П-я

С

F

Л.С. Атанасян №1 56 .

В

TT П

A В С F

A В DF

П-я

Н-я

09.01.23

DF – искомое расстояние

21