Теория вероятности в здачах ЕГЭ.

Теория вероятностей в задачах ЕГЭ

Основные факты

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Случай называется благоприятным событию , если появление этого случая влечет за собой появление события.

1. Непосредственный подсчет вероятностей

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле , где – общее число случаев; – число случаев, благоприятных событию .

1. Карточки с цифрами от 1 до 4 наудачу извлекают из мешка и кладут по порядку. Какова вероятность того, что карточку с цифрой 3 извлекут последней?

2. В сборнике билетов по физике всего 30 билетов, в 6 из них встречается вопрос по механике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по механике.

3. В урне 14 красных, 9 желтых и 7 зеленых шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется желтым.

4. В классе 20 человек, из них четыре Светы и пять Дим. Директор вызвал наугад одного из учеников. Какова вероятность, что вызванного ученика зовут Света или Дима?

5. В чемпионате мира участвуют 24 команды, в том числе команда из России. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда из России окажется во второй группе?

6. На международных соревнованиях 28 спортсменов из различных стран разделили на 4 группы по 7 человек случайным образом. Одним из участников соревнований является спортсмен из России. Какова вероятность того, что он окажется в четвертой группе?

7. Из 75 замков, которые поступили в продажу, шесть неисправны. Какова вероятность того, что наудачу купленный замок исправен?

8. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 75 спортсменов, среди них 12 – из России, 8 – из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что 13-м будет выступать спортсмен из России.

9. Научная конференция проводится в течение 5 дней. Всего запланировано 50 докладов: первые три дня – по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?

10. Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.

11. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

12. Спортивную секцию посещают 16 человек, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на четыре команды по 4 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

13. Симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

14. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствует событию ?

15. Юра дважды бросал кубик. Найдите вероятность того, что при втором броске у него выпало в два раза меньше очков, чем при первом. Ответ округлите до сотых.

16. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет не менее 16 очков. Ответ округлите до сотых.

17. На детском утреннике за круглый стол на 26 стульев в случайном порядке рассаживаются 24 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

18. В группе 8 человек, среди них – Егор и Владимир. Для проведения соревнования группу случайным образом делят на четыре пары. Найдите вероятность того, что Егор и Владимир окажутся в одной паре. Ответ округлите до сотых.

19. Максим в салоне сотовой связи выбирает наугад номер мобильного телефона. Какова вероятность, что среди трех последних цифр хотя бы две одинаковых?

В комнате собралось человек.

А) Какова вероятность того, что как минимум двое имеют общий день рождения?

Б) Какова вероятность того, что по крайней мере один человек родился в тот же день, что и вы? Какое значение делает эту вероятность близкой к ?

Общее число исходов равно . В пункте а) число неблагоприятных исходов равно . Поэтому вероятность того, что все дни рождения различны, равна

Значит, вероятность того, что двое или более людей имеют общий день рождения, равна

Причем, при имеем

а при имеем

В пункте б) число неблагоприятных исходов равно , а вероятность равна

Если мы хотим, чтобы она была близка к , то , откуда .

Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

– в каждой из пачек окажется по два туза;

– в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой – все четыре;

– в одной из пачек будет один туз, а в другой – три.

Общее число случаев . Число благоприятных событию случаев .

Событие может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй – наоборот, либо наоборот:

Аналогично

В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность следующих событий:

– все пассажиры выйдут на четвертом этаже;

– все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже);

– все пассажиры выйдут на разных этажах.

Всего случаев выйти из лифта будет . Тогда . Заметим, что вероятность события в шесть раз больше вероятности события (так как этажей, на которых можно выйти, шесть). Тогда .

Для события число способов, которыми можно распределить трех пассажиров по шести этажам равно . Тогда .

2. Геометрическая вероятность.

В данном случае исходом является случайный выбор точки внутри некоторой фигуры. Тогда

где – мера множества точек, благоприятствующих событию , – мера общего множества точек.

В одномерном случае под мерой понимается длина, в двумерном случае – площадь, в трехмерном случае – объем и т.д.

На отрезке, длина которого равна 6 см, наудачу поставлена точка. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до левого конца отрезка будет отличаться от расстояния от нее до правого конца не менее чем на 2 см?

Пусть см – расстояние от точки до левого конца, тогда см – расстояние от этой точки до правого конца отрезка. По условию

Тогда , и искомая вероятность равна

Миша и Оля договорились встретиться в интервале от 12:00 до 13:00, причем каждый приходит случайно в любой момент времени указанного интервала. Каждый готов ждать другого не более 5 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть и – время прихода Миши и Оли соответственно (в минутах), т.е. . В прямоугольной системе координат рассмотрим квадрат , точки которого имеют координаты, являющиеся соответственно временем прихода на место встречи пары ребят.

Условие, что каждый ждет другого не более 5 минут запишется в виде

Изобразим указанные прямые, получаем, что вероятность встречи равна отношению площади фигуры между прямыми ко всей площади квадрата, т.е.

Хрупкий карандашный грифель ломают в двух случайных точках. Найдите вероятность того, что из трех получившихся частей можно составить треугольник.

Будем считать, что грифель – это единичный отрезок. Расстояние от ближайшей точки излома обозначим , а до дальней – . Получаем условие . Элементарный исход в этом эксперименте – точка в треугольнике .

Составить из обломков треугольника можно тогда и только тогда, когда выполняются неравенства треугольника

Эта система определяет меньший треугольник внутри треугольника . Поэтому .

3. Сложение и умножение вероятностей.

Если события несовместные, то .

Если события совместные, то

.

Если события независимые, то .

Частота события - это отношение , где - число появления события , - общее число испытаний

1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Н. играют две шахматные партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

2. Вероятность того, что в течение дня охотник встретит зайца, равна 0,35, а вероятность того, что встретит лису – 0,6. Считая, что указанные два события независимы, найдите вероятность того, что в течение дня охотник встретит и зайца, и лису.

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

4. В загородном доме установлены две видеокамеры. Неисправность одной из них не зависит от неисправности другой. Вероятность неисправности первой равна 0,3, а вероятность неисправности второй – 0,2. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из видеокамер исправна.

5. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

6. На рисунке изображен лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по которому еще не шла. Считая, что выбор дальнейшего пути совершенно случаен, определите, с какой вероятностью мышка придет к выходу В.

7. Иван Петрович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наугад выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Иван Петрович попадет в точку Е.

8. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки классной комнаты к занятиям случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика.

9. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

11. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

12. Чтобы поступить в институт на специальность «архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трех предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трех предметов – русскому языку, истории и литературе. Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории равна 0,8, по русскому языку – 0,5, по литературе – 0,6 и по математике – 0,9. Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

13. В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

14. На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Условной вероятность события при наступлении события называется величина, обозначаемая и определяемая равенством

В семье один из двух детей – мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок – девочка?

Построим дерево. События «Мальчик» и «Девочка» обозначим буквами и соответственно. Вероятности рождения мальчика и девочки будем считать одинаковыми – по 0,5. Событию ”один из детей мальчик” благоприятствуют цепочки SBB, SBG и SGB. Событию ”мальчик и девочка” благоприятствуют цепочки SBG и SGB. Поэтому вероятность события «Другой ребенок - девочка» при условии, что один из детей мальчик, равна

В семье двое детей. Известно, что старший ребенок – мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок – девочка?

В данном случае все просто. Возможны варианты мальчик+мальчик и мальчик+девочка. Тогда требуемая вероятность равна .

Вероятность того, что в 30-минутный интервал на пустынной дороге появится автомобиль, равна 0,95. Какова вероятность встретить его в 10-минутный интервал?

Чтобы в течение 30-минутного отрезка не было ни одного автомобиля, должны случиться три вещи. Во-первых, в течение 10 минут не должно быть ни одного автомобиля. Затем должно пройти еще 10 минут без всяких машин. И, наконец, третьи 10 минут также должны быть без автомобилей. В вопросе спрашивается вероятность появления автомобиля в течение 10-минутного периода. Обозначим ее . Тогда Вероятность того, что автомобиль не появится в 10-минутный интервал равна . Тогда за 30-минутный интервал получаем

Проводится серия из идентичных независимых экспериментов. В каждом из них вероятность наступления случайного события равна . Тогда вероятность того, что в указанной серии экспериментов событие наступить ровно раз () вычисляется по формуле Бернулли : .

Вероятностью события при условии события называется величина .

Пусть - гипотезы (события, исчерпывающие все возможности в рамках рассматриваемого испытания, причем , …, ). Тогда для любого события справедлива формула полной вероятности

Вероятность наступления гипотезы при условии наступления события находится по формуле Байеса :

1. В ящике лежат гелевые ручки: 8 синих, 6 красных и 2 зеленых. Надя достает случайным образом две ручки. Какова вероятность, что она достанет одну синюю и одну красную ручки?

Решение. Всего возможно способов выбрать две ручки. Пару из синей и красной ручек можно составить способами. Искомая вероятность равна .

2. Петя бросает симметричную монету 26 раз. Во сколько раз вероятность события «решка выпадет ровно 7 раз» превосходит вероятность события «решка выдает ровно 5 раз»?

Решение . По формуле Бернулли имеем

Искомое отношение равно

3. Стрелок Алексей стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «Алексей поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «Алексей поразит ровно три мишени»?

Решение . Вероятность промаха составляет . Тогда вероятность того, что Алексей не попадет в цель за два выстрела, равна , а вероятность поражения отдельно взятой цели равна . По формуле Бернулли вероятность того, что Алексей поразит 4 мишени из 5 равна

Вероятность того, что Алексей поразит ровно 3 мишени равна

Искомое отношение равно

4. Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того, что SMS-сообщение удастся передать без ошибок, в каждой отдельной попытке равна 0,9. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение. Вероятность неудачи в случае каждой отдельной попытки равна . По условию должна потребовать одна или две попытки. Тогда искомая вероятность равна

5. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянных. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадет в муху.

Решение . Введем гипотезы

и рассмотрим событие . Тогда

По формуле полной вероятности имеем

6. Маша подбросила игральную кость 3 раза. Известно, что в сумме выпало 7 очков. Какова вероятность события «хотя бы один раз выпало три очка»?

Решение . Семь очков в сумме могло получиться в следующих случаях:

Всего 15 исходов. Искомому событию «хотя бы один раз выпало три очка» благоприятствуют шесть из них. Искомая вероятность равна .

7. В городе 51% взрослого населения – женщины. Работающие составляют 79,8% взрослого населения. При этом доля работающих среди взрослых мужчин составляет 90%. Для проведения исследований выбрали взрослую женщину случайным образом. Какова вероятность того, что выбранная женщина окажется работающей?

Решение . Рассмотрим гипотезы

и событие . Тогда

По формуле полной вероятности

что и является искомой величиной.

8. В ресторане «Костя» администратор предлагает гостям сыграть в следующую игру: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он бросит комбинацию 3 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от повара: мини-пиццу. Какова вероятность получить комплимент от повара? Ответ округлите до сотых.

Решение . Рассмотрим гипотезы

и событие . Тогда

, т.к. если выполнена гипотеза , то клиент получит комплимент от повара, , т.к. если выполнена гипотеза , то клиент получит комплимент от повара, если получит нужную комбинацию вторым броском.

По формуле полной вероятности

Можно было рассуждать следующим образом: с вероятностью нужная комбинация не выпадает при одном броске, тогда с вероятностью она не выпадет за два раза. Отсюда искомая вероятность равна .

9. Артем бросил одновременно две игральные кости, ни на одной из них не выпало шесть. Какова вероятность при этом условии, что в сумме выпало 9 очков?

Решение . Всего исходов . Пусть событие . Оно наступит, если при первом броске и при втором броске не выпало 6, т.е. .

Пусть событие . Этому событию благоприятствуют всего 2 исхода: и . Значит, .

По условию нам необходимо найти . По определению условной вероятности получаем

10. Игорь бросал игральную кость до тех пор, пока сумма очков не превысила число 4. Найдите вероятность того, что потребовалось ровно 2 броска.

Решение . Рассмотрим гипотезу . Тогда при всех . Пусть событие

При первом броске могло выпасть от 1 до 4 очков. Тогда

По формуле полной вероятности имеем

11. В ящике 8 фломастеров: 5 красных и 3 зеленых. Катя вытаскивает фломастеры по очереди. Какова вероятность, что в первый раз зеленый фломастер она вытащит четвертым по очереди? Ответ округлите до сотых.

Решение . По условию задачи Катя должна первые три раза вытащить красные фломастеры, а на четвертый раз – зеленый. Тогда искомая вероятность равна

12. У Вадима есть два игральных кубика. Первый из них обычный, а на гранях второго кубика числа 2 и 4 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Вадим наудачу выбрал один из двух кубиков и бросил его два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова вероятность того, что он бросил второй кубик?

Решение . Рассмотрим гипотезы

и событие . Тогда

По формуле полной вероятности имеем

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

13. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 92% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 11% пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент А. действительно имеет это заболевание?

Решение . Рассмотрим гипотезы

и событие . Тогда

Пусть , тогда и по формуле полной вероятности

По формуле Байеса найдем искомую вероятность

14. Турнир по футболу проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует четное число команд, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число команд нечетно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а одна команда остается без пары и не участвует в туре. Проигравшая в каждой паре команда (в случае ничьей проводится серия пенальти до победы одного из участников) выбывает из турнира, а победители и команда без пары, если она есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся две команды, которые играют между собой финальный тур, то есть последний матч, который выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 20 команд, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков две команды из Ставрополя «Факел» и «Пламя». Определите вероятность того, что в каком-то туре им придется сыграть друг с другом.

Решение . Рассмотрим два события {команда «Факел» прекратила участие в турнире, проиграв «Пламени»} и {команда «Пламя» прекратила участие в турнире, проиграв «Факелу»}. Эти события несовместны, их объединение равносильно событию «команды «Факел» и «Пламя» встретились в рамках турнира». Тогда искомая вероятность равна .

Найдем . Рассмотрим две гипотезы: {«Факел выиграл турнир} и {«Факел» не выиграл турнир}. , так как каждая из 20 команд-участников имеет по условию равные шансы на победу в турнире. Отсюда .

Далее, (так как событие невозможно в этом случае) и (если «Факел» кому-то проиграл, то в силу одинаковых начальных шансов игроков, «Факел» с одинаковой вероятностью мог проиграть любому из них, кроме себя).

По формуле полной вероятности

В силу того, что в начале турнира все игроки находятся в одинаковой ситуации, то .

Искомая вероятность равна .

15. В некотором турнире участвуют 8 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из турнира, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трех играх победила команда «Игрек». Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвертый раунд?

Решение . В первом раунде в турнир вступают две команды, а в каждом из последующих раундов – по одной из числа ранее не участвовавших. Пронумеруем команды натуральными числами. Тогда все команды будут вступать в турнир в определенном порядке.

Пусть событие {Команда «Игрек» выиграла первые три игры турнира}, событие {Команда «Игрек» выиграла четвертую игру турнира}. Тогда событие {Команда «Игрек» выиграла первые четыре игры}.

Искомая вероятность найдем по определению условной вероятности.

Найдем . Для наступления события необходимо, чтобы «Игрек» вступил в турнир в первом раунде и оказался самой сильной командой среди первых четырех, которые участвуют в этих трех раундах.

Вероятность того, что «Игрек» вступит в турнир в первом раунде, то есть под номером 1 или 2, равна , т.к. «Игрек» имеет одинаковые шансы вступить под любым номером от 1 до 8. Вероятность того, что «Игрек» будет самой сильной командой, при этом условии равна , т.к. мы с одинаковой вероятностью можем предполагать любую силу команды «Игрек», а всего в первых трех раундах участвуют четыре команды.

Тогда .

Событие аналогично событию , только вместо трех первых раундов рассматриваются четыре. Поэтому .

Отсюда .

16. Владимир стреляет в тире по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее число патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,75?

Решение . Найдем вероятность того, что цель останется непораженной в результате выстрелов. Это событие противоположно событию в условии задачи, поэтому его вероятность должна быть не более . Вероятность промаха при каждом отдельном выстреле равна . Тогда

: .

: .

: .

: .

Значит, наименьшее число патронов равно 4.

В ящике лежат 16 теннисных мячей, в том числе 10 новых и 6 играных. Для игры из ящика берут два мяча наугад, а после игры их возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что оба мяча буду играными.

Рассмотрим событие ”оба мяча, взятые для второй игры, играные” и введем три гипотезы:

” оба мяча, взятые для первой игры, оказались новыми”

” один мяч новый, а другой - играный”

” оба мяча, взятые для первой игры, оказались играными”

Тогда

По формуле полной вероятности имеем

В урне лежал шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или красный. В урну опустили один белый и один красный шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекли из нее один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остались шары одного цвета?

Рассмотрим событие ”шар, извлеченный из урны,– белый” и две гипотезы ”в урне лежал белый шар” и ”в урне лежал красный шар”. В задаче требуется найти .

По условию . Тогда

По формуле Байеса находим

Лорд Вайл любит выпить виски, количество выпитого за день случайно, но известно, что он может выпить за день стаканов с вероятностью , . Вчера его жена леди Вайл, его сын Лидделл и его дворецкий решили убить лорда. Если он не пил виски в этот день, его должна была убить леди Вайл; если он выпил ровно один стакан, совершение убийства выпадало Лидделлу, в противном случае это должен был совершить дворецкий. В два раза более вероятно, что леди Вайл прибегнет к отравлению, чем к удушению, дворецкий, напротив, выберет удушение с вероятностью в два раза больше, чем отравление, а Лидделл с равно вероятностью может выбрать любой из этих способов. Вопреки всем их усилиям, нет никакой гарантии, что лорд Вайл наверняка умрет в результате какой-нибудь из попыток убить его, однако в три раза более вероятно, что он станет жертвой удушения, чем отравления.

Сегодня лорд Вайл мертв. Какова вероятность того, что его убил дворецкий?

Запишем

и

Далее

Тогда по формуле Байеса