Тема 13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Тема 11. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Вычислить интеграл: .

РЕШЕНИЕ:

Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница:

Сначала находим первообразную для подинтегральной функции:

.

Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то возьмем такую первообразную, для которой .

Получим:

.

Заметим, что сначала в первообразную подставляется верхний предел интегрирования а затем нижний. В отличие от неопределенного интеграла, при вычислении которого получается семейство функций, определенный интеграл равен конкретному числу.

1. Вычислить интеграл: .

РЕШЕНИЕ:

По формуле Ньютона-Лейбница:

1. Вычислить интеграл: .

РЕШЕНИЕ:

Используем замену переменной: . Тогда . Один из синусов войдет в дифференциал. Останется . Меняем пределы интегрирования: на нижнем пределе , следовательно . Верхний предел: .

Имеем:

По свойству определенного интеграла, можно поменять местами пределы интегрирования (это делается для удобства вычислений, чтобы нижний предел был меньше верхнего), при этом поменяется знак перед интегралом:

Заметим, что при использовании замены переменной в определенном интеграле ненужно возвращаться к старой переменной, как это делалось при вычислении неопределенных интегралов, поскольку одновременно с заменой переменной мы меняем пределы интегрирования.

1. Вычислить интеграл: .

РЕШЕНИЕ:

Снова используем замену переменной в определенном интеграле:

5. Вычислить интеграл: .

РЕШЕНИЕ:

Используем метод интегрирования по частям:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Вычислить определенный интеграл:

а) б) в) г)

д) е) ж) з) и)

1. Вычислить определенный интеграл, используя замену переменной:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и) к)

1. Вычислить определенный интеграл, используя интегрирование по частям:

а) б) в) г) д)

е) ж) з)

3