Типичные ошибки, допускаемые обучающимися при выполнении ГИА»

Практическое занятие №2

Тема: «Разобрать с методическими комментариями типичные ошибки, допускаемые обучающимися при выполнении ГИА»

1)Тригонометрические функции.

Допускаемые ошибки:

1) ученики плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность и как с нею связаны тригонометрические функции;

2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и применять нужные алгоритмы для их решения, выбирать решения уравнения, принадлежащие заданному интервалу;

3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;

4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;

5) вычислять значения тригонометрических выражений,

6) что такое обратные функции и как их находить;

Комментарии: Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

- область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

- периодичность всех тригонометрических функций, наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой  . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

2) Тригонометрические преобразования

В преобразованиях очень часто допускают ошибку, что

tg60⁰=2tg30⁰; sin60⁰=2sin30⁰, т.е. tg2α=2tgα; sin2α=2sinα

Предупреждение этой ошибки можно проводить двумя способами:

а) с помощью графика функций.

Из графика видно, что тригонометрические функции не пропорциональны углам, поэтому sin2α ≠ 2sinα; tg2α ≠ 2tgα; 

б) sin60⁰≠2sin30⁰; sin2α≠2sinα, т.к.  ; 

Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета и выполнения тестовых заданий.

3) Доказательство тождеств

При доказательстве тождеств чаще всего допускаются ошибки при использовании тригонометрических формул, формул зависимости между синусом и косинусом, тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом, тангенсом и котангенсом при этом соблюдать алгоритм доказательств тождеств:

- преобразование правой части к левой;

- преобразование левой части к правой;

- установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю;

- преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

Пример:

Доказать тождество cos² α = (1 – sin α)(1 + sin α).

Доказательство:

(1 – sin α)(1 + sin α) = 1 – sin² α = cos² α

Поэтому для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений необходимо использовать не только данные тригонометрические тождества, но и другие формулы тригонометрии, а также алгебраические преобразования, например, действия с дробями, вынесение за скобки общего множителя, формулы сокращённого умножения. 

4) Тригонометрические уравнения

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,

3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.

При решении уравнений вида sin2x = 1,5 ученики допускают ошибки,

чтобы устранить их , надо еще раз вспомнить определение тригонометрической функции синус угла и обратить внимание на то, что синус угла – это единое целое, что это число и разрывать его нельзя.

При решении уравнения sin2x = 1,5 ученики начинают по таблицам искать угол 2x, по значению функции, забывая, что синус угла по абсолютной величине не превышает 1. Надо здесь поставить вопрос: «Какие значения принимает синус угла? Ученики дают верный ответ: Значит, sinα ≠ 1,5. Синус любого угла по абсолютной величине не больше 1, следовательно sin2х ≠ 1,5, т.е. данное уравнение не имеет решения.

5) Тригонометрические неравенства

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3. введение тригонометрических неравенств других видов.

Допускают ошибки:

• при решении тригонометрических неравенств , связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности

• при решении простейшие неравенства вида sinx  1, sinx  x  1, cosx с помощью свойств функций синус и косинус;

• при составлении двойных неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

• при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.

Учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Решить неравенство 

Решение неравенства с помощью круга.

Решим тригонометрическое неравенство  .

1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку   и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен  .

2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем  . Эта дуга расположена выше проведенной прямой.

3. Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности  .

4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги  .Таким образом, мы видим, что неравенству  удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство  . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде 

Поэтому, чтобы решить неравенство  , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни  и  , и записать ответ неравенства в виде:  .

Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.

Изучение тригонометрических функций будет более эффективным в том случае, когда:

1) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

2) каждое свойство функции четко обосновано и все они сведены в систему;

3) твердое знание всех формул, как в прямом, так и в обратном порядке.

Для предупреждения и устранения ошибок, необходимо больше уделять внимание решению задач и упражнений, как в школе, так и дома. Для развития и поддержания интереса к данной теме следует использовать на уроках упражнения практического характера по тригонометрии, рассмотреть тригонометрические функции в алгебраических и физических задачах.

Методика работы с задачами с ошибками может быть следующей:

• Индивидуальная, парная или групповая работа. Задачи с ошибками могут быть представлены в раздаточном материале (карточки) или на слайдах презентации.

• Совместное обсуждение ошибок.

• Проверка результатов и подведение итогов учителем.

• Примеры заданий с ошибками по многим темам можно составить самим или найти в литературных и интернет-источниках.

• Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в ВУЗы.

Раздел пособия так и называется: «Учимся на чужих ошибках».

• http://math4school.ru/rabota_nad_oshibkami.html

• Раздел сайта «Мath4school» называется «Работа над ошибками», содержит большое количество примеров с решениями и подробным анализом ошибок.