Тренировочный тест ЕГЭ. Профиль

Вариант 2 (ПРОФИЛЬ)

1. В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4.Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

5. Найдите корень уравнения 

6. В треугольнике  угол  равен 43 градусам, углы  и  - острые, высоты  и  пересекаются в точке  Найдите угол  Ответ дайте в градусах.

7. Прямая  является касательной к графику функции  Найдите 

8. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

9. Найдите значение выражения 

10. Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону  где t — время с момента начала колебаний, T = 8 с — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

13. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку 

14. Есть правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁.

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

15. Решите неравенство 

16. В треугольник  вписана окружность радиуса  касающаяся стороны  в точке  причём 

а) Докажите, что треугольник  прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон  и  в точках  и  Найдите площадь треугольника  если известно, что  и 

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения?

19. Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Вариант № 20387580

1. В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Решение.

За 3 кг помидоров отдыхающие заплатили 4 · 3 = 12 гривен. Значит, в рублях они заплатили: 12 · 3,7 = 44,4 рубля. Округляем до целого числа, получаем 44.

Ответ: 44.

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

Решение.

Из графика видно, что 1,5 миллиметров осадков впервые выпало 9 января.

Ответ: 9.

3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому

 см².

Примечание.

Приведем другое решение. Площадь параллелограмма равна разности площади прямоугольника и двух равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами параллелограмма. Поэтому

 см².

Ответ: 12.

4.

Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, промахнулся» равна

Ответ: 0,13.

5. Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

Ответ: 6.

6. В треугольнике  угол  равен 43 градусам, углы  и  - острые, высоты  и  пересекаются в точке  Найдите угол  Ответ дайте в градусах.

Решение.

Cумма углов в выпуклом многоугольнике равна 360 градусам, следовательно,

Ответ: 137.

7. Прямая  является касательной к графику функции  Найдите 

Решение.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

Решение.

Пусть  Поскольку  и  по теореме о трех перпендикулярах  Поскольку  угол  является линейным углом двугранного угла между плоскостями  и  Тогда 

Ответ: 6,5.

9. Найдите значение выражения 

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 7.

10. Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону  где t — время с момента начала колебаний, T = 8 с — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение.

Найдем скорость груза через 7 секунд после начала колебаний:

Найдем кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний:

Ответ: 0,098

11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость равна:

 км/ч.

Ответ: 55.

12.

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Решая уравнение , находим  Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет  Найдем это число:

Ответ: 4.

13. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку 

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или  что невозможно, или  откуда  или 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 

Получим числа: 

Ответ: а)  б) 

14. Есть правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁.

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Решение.

а) Отметим точки  и  на ребрах  и  соответственно так чтобы   Тогда плоскость  это плоскость 

Очевидно , поскольку проекция  на плоскость  — высота треугольника  Она перпендикулярна , а значит и  По теореме о трех перпендикулярах 

Рассмотрим теперь проекцию  точки  на плоскость  Поскольку проекция  на эту плоскость — середина ребра , то  Докажем теперь, что прямая  перпендикулярна  Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что , а тогда и 

Обозначим за  точку пересечения отрезков  и , за  и  — проекции точек  и  на прямую  Тогда

Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол  = 180° - 90° = 90°, что и требовалось доказать.

б) Очевидно , так как  — равносторонний треугольник.

Ответ:

15. Решите неравенство 

Решение.

Относительно  неравенство имеет вид:

Значит,  или  Возвращаясь к x, получаем:

или

Ответ: 

16. В треугольник  вписана окружность радиуса  касающаяся стороны  в точке  причём 

а) Докажите, что треугольник  прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон  и  в точках  и  Найдите площадь треугольника  если известно, что  и 

Решение.

а) Пусть  — центр вписанной окружности треугольника  Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому  Следовательно, 

б) Обозначим  По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,  и  По теореме Пифагора  или  Из этого уравнения находим, что  Тогда  

Следовательно, 

Ответ: 

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Решение.

В июле 2017, 2018 и 2019 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют 0,2S тыс. рублей.

В январе 2020 года долг (в тыс. рублей) равен 1,2S, а в июле — 1,2S − 360.

В январе 2021 года долг равен 1,44S − 432, а в июле 1,44S − 792.

По условию, долг будет выплачен полностью, значит, 1,44S — 792 = 0, откуда S = 550.

Таким образом, первые три выплаты составляют по 110 тыс. рублей, а последние две — по 360 тыс. рублей.

Общая сумма выплат составляет:

Ответ: 1050 тыс. рублей.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения?

Решение.

Заметим, что вместе с каждым решением  система имеет также решения  Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.

1. Если  то  Тогда  откуда

Проверка показывает, что при  система  имеет два решения. При  получаем  Эта система имеет только одно решение.

2. Если  то  Тогда  этот случай исследован выше.

3. Если  то  Тогда:  откуда

Проверка показывает, что при  система  имеет два решения.

4. Если  то  — см. случай 3.

5. Если  то  — см. случай 2.

6. Если  то  — см. случай 1.

Приведем другое решение:

При a = 0 первое уравнение описывает точку (0; 0), а второе оси координат  и, значит, система имеет единственное решение.

Дальше будем считать, что  В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом a. При a = 3, второе уравнение снова описывает оси координат  и, значит, система имеет четыре решения. При  второе уравнение может быть преобразовано в уравнение  так как в этом случае, ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы.

Заметим, теперь, что обе кривые описываемые уравнениями системы симметричны относительно начала координат, значит, два решения система будет иметь только в случае касания окружности и гиперболы. Рассмотрим уравнение описывающее точки их пересечения

Сделаем замену  тогда, в случае касания, уравнение  должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это, либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный.

Проверка показывает, что при a = 2 и a = 6 уравнение имеет положительный корень, a = 0 не подходит.

Ответ: 

19. Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было 3 участника, которые набрали 90, 72 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест  балла. После добавления баллов у участников оказалось 95, 77 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил  баллов.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали тест b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 85. Имеем два уравнения: 80N = 65(N − a) + 90a и 85N = 69(N − b) + 93b, откуда 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 64 балла, 1 участник — 70 баллов и 9 участников по 90 баллов. Тогда средний балл был равен 80, средний бал участников, сдавших тест, был равен 90, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 65. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 69. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.