Третий признак подобия треугольников

Тема: «Третий признак подобия треугольников»

Продолжительность: 40 мин
Цель: сформировать понимание третьего признака подобия треугольников, научить 

применять его при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие.

• Проверка готовности класса.

• Объявление темы и цели урока.

2. Актуализация знаний (8 мин)

Фронтальный опрос:

1. Какие треугольники называются подобными?

2. Что такое коэффициент подобия?

3. Сформулируйте первый признак подобия (по двум углам).

4. Сформулируйте второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Письменное задание (2 мин, на листочках):

• Даны ΔABC и ΔA₁B₁C₁. ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Докажите, что треугольники 

подобны.

• Даны ΔDEF и ΔD₁E₁F₁. DE : D₁E₁ = DF : D₁F₁, ∠D = ∠D₁. Докажите подобие.

3. Изучение нового материала (10 мин)

Постановка проблемы:

• Можно ли установить подобие треугольников, зная только длины их сторон?

Формулировка третьего признака:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого 

треугольника, то такие треугольники подобны.

Запись в символах:
Если  ​, то ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.

Доказательство (краткий план, с опорой на учебник):

1. Построим ΔAB₂C₂ ∼ ΔA₁B₁C₁ по первому признаку (отложим ∠A = ∠A₁ и ∠B₂ = ∠B₁).

2. Докажем, что AB₂ = AB и AC₂ = AC (используя пропорциональность сторон).

3. Сделаем вывод: ΔABC = ΔAB₂C₂ (по трём сторонам) ⇒ ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.

Важно:

• Подчёркиваем, что все три отношения сторон должны быть равны.

• Коэффициент подобия k — это общее значение отношений сторон.

4. Первичное закрепление (7 мин)

Задача 1 (устно, фронтально).
Даны треугольники со сторонами:

• ΔPQR: 6 см, 8 см, 10 см;

• ΔXYZ: 9 см, 12 см, 15 см.
  Подобны ли они?
  Решение:
  ​ ⇒ треугольники подобны (k =  ​).

Задача 2 (письменно, у доски).
Стороны ΔABC: 5 см, 7 см, 9 см. Стороны ΔDEF: 10 см, 14 см, 18 см. Найдите коэффициент подобия.
Решение:
​ ⇒ k =  ​.

Задача 3 (самостоятельно, с проверкой).
Могут ли быть подобными треугольники со сторонами:

• 3 см, 4 см, 5 см и 6 см, 8 см, 11 см?
  Ответ: нет, так как

5. Решение задач на применение признака (10 мин)

Задача 4 (письменно).
Дан ΔMNK со сторонами MN = 12 см, NK = 15 см, MK = 18 см. В нём проведена средняя 

линия PQ (P ∈ MN, Q ∈ MK). Докажите, что ΔMNK ∼ ΔMPQ, и найдите коэффициент 

подобия.
Решение:

1. PQ — средняя линия ⇒ PQ ∥ NK и PQ = ½ NK = 7,5 см.

2. MP = ½ MN = 6 см, MQ = ½ MK = 9 см.

3.  ⇒ ΔMNK ∼ ΔMPQ (k =  ​).

Задача 5 
Периметры двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Найдите отношение их 

площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно k²

Ответ:  ​.

Из учебника № 667

6. Подведение итогов (2 мин)

Вопросы для рефлексии:

• Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

• Как найти коэффициент подобия, зная стороны треугольников?

7. Домашнее задание (1 мин)

п. 68, № 666