ЦТО Логика 10 класс

Основы алгебры логики

Основным понятием математической логики является понятие высказывания. Под высказыванием понимают повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Определение 1. Отрицанием высказывания А называется такое высказывание ( читается «не А», «неверно, что А» ), которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Например, отрицанием высказывания А: «6 делится на 2» является высказывание : «неверно, что 6 делится на 2» (или «6 не делится на 2»).

Для пояснения логических операций удобно использовать так называемые таблицы истинности (истинностные таблицы):

Определение 2. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А и В», «А конъюнкция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Например, конъюнкцией высказываний А: «24» и В: «6 – простое число» является высказывание А В: «24 и 6 – простое число», которое ложно, поскольку ложным является высказывание В. Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид:

Определение 3. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А или В», «А дизъюнкция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В.

Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А В истинно и при истинности обоих высказываний А и В. Например, высказывание «4¹13 или 7 – простое число» истинно, так как является дизъюнкцией двух истинных высказываний «4¹13» и «7 – простое число». Дизъюнкции соответствует следующая таблица истинности:

Определение 4. Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «если А, то В», «из А следует В», «А влечет В», «А импликация В»), которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а В ложно. Истинностная таблица для импликации такова:

В импликации А В высказывание А называется посылкой (или условием), а высказывание В – заключением. Между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Поэтому с точки зрения логики, допустимы, например, такие импликации: «если диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то Ю.Гагарин – великий русский поэт», «если город Брянск расположен на берегу Невы, то 3+2=4». В первом случае импликация, согласно определению, является ложной, а во втором – истинной. То обстоятельство, что в случае, когда ложна посылка, импликация будет истинной независимо от истинностного значения заключения, кратко формулируют так: «из ложного следует все, что угодно».

Определение 5. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В», «А эквиваленция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В совпадают.

Например, высказывание «2+7=8 тогда и только тогда, когда 3» истинно,