Угол между скрещивающимися прямыми

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 1.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-7

Тема: Угол между скрещивающимися прямыми

Цель урока: формирование понятия угла между скрещивающимися прямыми, а также умений учащихся находить углы между скрещивающимися прямыми.

Развивать мышление, память.

Воспитать интерес к уроку.

Оборудование: стереометрический набор, модели куба, тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда.

2. Проверка домашнего задания

3. изучение нового материала

К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.

Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.

Приведем еще вспомогательные рассуждения.

Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим прямые a₁ и b₁ так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M₁. Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Пусть угол между пересекающимися прямыми a₁ и b₁ равен углу  . Теперь построим прямые a₂ и b₂, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М₂, отличную от точки М₁. Угол между пересекающимися прямыми a₂ и b₂ также будет равен углу  . Это утверждение справедливо, так как прямые a₁ и b₁ совпадут с прямыми a₂ и b₂ соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М₁ перейдет в точку М₂. Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М.

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.

К началу страницы

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.

Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов, а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.

Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).

Поставим перед собой задачу: найти угол   между скрещивающимися прямыми a и b, которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве.

Решим ее.

Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a₁ и b₁, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол   между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a₁ и b₁ по определению.

Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a₁ и b₁. Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a₁ и b₁.

Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a₁ и b₁ можно принять направляющие векторы   и   прямых a и b соответственно.

Координаты векторов   и   определяются либо по известным из условия уравнениям прямых a и b (смотрите раздел координаты направляющего вектора прямой), либо по известным из условия координатам двух точек прямых a и b (здесь может быть полезна теория раздела координаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле  , где   и   - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и b имеет вид  .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус:  .

Осталось разобрать решения примеров.

Пример.

Найдите угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями   и 

4.закрепление

Пример2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

Решение задач А.В.Погорелов № 24. №25(1. 2)