Уравнения и неравенства с параметрами как способ формирования исследовательских навыков учащихся в курсе алгебры 7-9 класса

Уравнения и неравенства с параметрами как способ формирования исследовательских навыков учащихся в курсе алгебры 7-9 класса

И. М. Шумская

ГБОУ ЛНР «Кировская многопрофильная гимназия»,

г. Кировск

[email protected]

Аннотация. В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) регулярно встречаются в вариантах ГИА, олимпиадах, ЕГЭ. И здесь далеко не все школьники приступают к решению этих заданий, и еще меньшее число – выполняют решение верно. Таким образом, очевидна необходимость отработки в школьном курсе математики приемов решения различных задач с параметрами.

Ключевые слова: исследование, неравенства, параметры, решение задач, школьный курс.

Актуальность проблемы. Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, является, пожалуй, одним из самых трудных разделов элементарной математики. Это связано с тем, что в школе стараются развить умения и навыки решения определенного набора стандартных задач, связанных часто с техникой алгебраических преобразований. Задачи с параметром относятся к другому типу. Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждениях, умение хорошо и полно анализировать ситуацию. Опыт показывает, что учащиеся, владеющие методами решения задач с параметром, успешно справляются и с другими задачами.

Цель статьи. Привести примеры решения задач с параметрами, показав собственный опыт формирования у учащихся умений, навыков и математической компетентности при решении задач с параметрами.

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Задание: Выразите х через другие переменные:

Пример 1. Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

х + 2 = а + 7; х = 5 + а

Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в нее задаваемые значения параметра а. Заметим, что значения параметра а задаем произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8; при а = 0 х = 5; при а = –4 х = 1.

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Параллельно решаем задачу, обратную данной.

Пример 2. При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение.

Т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

а = – 2,5

Ответ: при а = – 2,5.

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

1) при а …. х ….

2) если а …. , то х ….

Когда начинать решать такие уравнения? В зависимости от уровня класса, на уроках в течение всего года.

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры – один из труднейших разделов школьной математики. Квадратные и дробно-рациональные уравнения с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учащимися изученного материала.

Что должны знать восьмиклассники?

Если D 0, то уравнение имеет два корня

и .

Если D = 0, то уравнение имеет один корень .

Если D не имеет корней

Пример 3. При каких значениях параметра b уравнение

а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение. ; D = ;

, следовательно Если , то уравнение корни имеет.

б) , – при любых значениях b, кроме нуля. Если b Î (– ¥; 0) È (0; + ¥), то исходное уравнение корней не имеет.

Уже в 8 классе можно решать квадратные уравнения, содержащие параметр, с ограничением на корни.

К этой группе задач примыкают задачи, содержащие параметр, решаемые с использованием теоремы Виета.

Пример 4. При каких значениях параметра b уравнение

имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) единственный корень?

Решение.

Если b ¹ 1, то

а) согласно теореме Виета , b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥)

б), решений нет

в) если b = 1, то –2х + 2 = 0; х = 1; b ¹ 1; .

Ответ: а) b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥); б) таких b не существует; в) х = 1.

В 9 классе рассматриваем задания, которые связаны с решением квадратичных неравенств, уравнений на расположение корней квадратного уравнения, графическим методом решения уравнений с параметрами, в том числе, уравнений с модулями.

Для решения квадратных неравенств с параметрами следует добиться осмысленного усвоения алгоритма решения квадратичных неравенств вида ах² + bх + с 0; ах² + bх + с ² + bх + с ≥ 0; ах² + bх + с ≤ 0. Наглядной «помощницей» может быть таблица.