Урок 1. Основные понятия комбинаторики

ТЕМА: Основные понятия комбинаторики.

Ответьте на вопросы письменно: (20-25 мин)

1. Что называют факториалом? (примеры вычисления)

2. Комбинаторика-это…

3. Что такое соединения? виды соединений?

4. Решить задачу 1 и задачу 2 методом подбора!

Часто в математике нужно вычислить произведение натуральных чисел по порядку, начиная с 1. Например, 1*2*3*4*5*6*7 и т.д. Чтобы запись была короче используют знак «!»

Произведением всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и записывается n!(читается как эн факториал)

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? Посчитайте в тетради!

2!= … 3!=… 4!=… 5!=… 6!=…

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой.

Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

1) Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается  и вычисляется по формуле:

3) Сочетания.

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья хоккейного матча и его помощник;

б) «Шесть человек останутся убирать класс!»

в) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Домашнее задание Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».

Проверь себя!

1.Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________

б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________

в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________

2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?

4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?