Урок геометрии в 9 классе "Конус"

Урок геометрии в 9 классе

Тема: « Конус

Цели: познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся.

1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ . В результате получится тело, которое называется конусом.

2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ – его высотой.

При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А  Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, – образующими конуса. Таким образом, конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

3. Пользуясь  принципом  Кавальери,  можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

,

где r – радиус основания, h – его высота.

. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса . Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть рав ен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr.

5. Площадь S_бок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть де α – градусная мера дуги сектора (рис. 363, б).

Длина дуги окружности с градусной мерой  и радиусом l равна  .

С другой стороны, длина дуги равна 2πr, то есть  = 2πr, поэтому

S_бок =  = 2πr ∙  = πrl.

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой

.

,

Выполнение упражнений.

1. Решить задачу № 1220 (б, в).

Учащиеся  решают  самостоятельно,  потом  решение  задачи  проверяется.

Решение

б) Дано: r = 4 см; V = 48 π см³. Найти h.

V =  πr²h; отсюда h = = 9 (см).

Ответ: 9 см.

в) Дано: h = m; V = р. Найти r.

V =  πr²h; найдем r² = , тогда r = .

Ответ:  .

2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях.

Решение

S_осн = Q,  S_бок = P. Найти V.

1) S_осн = πr² = Q, отсюда r = .

2) S_бок = πrl = P, отсюда l = .

3) По теореме Пифагора из Δ АВС найдем

h² = l² – r² = .

Значит, h =  .

4) Найдем объем конуса

V =  πr²h = Q ∙  .

Ответ:  .

3. Решить з

5. Решить задачу № 1249.

Решение

По условию h = 12 см, V = 324 π см³. Найти α дугу развертки боковой поверхности конуса.

1)                                           V = πr²h;

324π = πr² ∙  12;

324 = 4r²;

r² = 81;

r = 9 (см).

2) S_бок = ∙  α = πrl, отсюда, сократив обе части равенства на πl, получим  = r, тогда  = 9, значит, α = .

3) l² = h² + r²,  то l = = 15 (см).

4) α = = 216°.

Ответ: α = 216°.

. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 130; ; решить задачу № 1220 (а); записать в тетрадь решение задачи № 1222