Урок геометрии в 8 классе по теме " Вписанный угол".

Урок геометрии в 8 классе по теме «Вписанный угол».

Разработчик: учитель математики Гаврюченкова Галина Владимировна

Тип урока: урок изучения нового материала

Общедидактическая цель: создать условия для восприятия учащимися нового учебного материала, осознания и осмысления объектов изучения.
1.Образовательный аспект: рассмотреть теорему о вписанном угле, познакомить с индуктивным методом её доказательства.
2. Развивающий аспект: развивать умения находить способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его, развивать мышление, память, навыки аргументированной речи, навыки доказательного воспроизведения в процессе деятельности, содействовать созданию условий для развития коммуникативной компетентности учащихся.
3. Воспитательный: повышать интерес к изучению математики через красоту математических доказательств, их стройность, логичность; актуализировать личностный опыт обучающихся к изучению темы.

Учитель: Ребята, вы уже второй год изучаете геометрию. Кто является основателем этой науки?

Учащиеся: Евклид, евклидова геометрия. Слайд.

Учитель: Назовите главный труд этого греческого математика.

Учащиеся: «Начала»

Учитель:

Евклид принёс на царский суд

«Начала» -свой великий труд.

Пытался царь читать «Начала»

То с середины, то с начала,

Но лишь запутался вконец.

И тщетность осознав попыток,

Папируса швырнул он свиток

-Позвать Евклида во дворец!

В душе царя кипит обида,

Владыку труд учёный злит:
«Мир славит мудреца Евклида!

Царь геометрии - Евклид!

А мне наука неподвластна?!!»

Не понял я: о чем тут речь?

Ты снова должен приналечь

Труд переделать свой…

Иначе…

-Нет, я не выполню задачи,- Евклид сказал

-Ни я, ни Боги

-В науке царской нет дороги!

Скажите, почему Евклид сказал царю, что в науке царской нет дороги?

Учащиеся:

Потому что в науке всё нужно доказывать, исследовать, в ней нет лёгких путей.
Учитель:

Что такое доказательство? Из каких элементов состоит любое доказательство?

Учащиеся: предполагаемые ответы детей)

- Логическое рассуждение, в процессе которого подтверждается истинность какой-либо мысли.

-Доказательство — это рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже не вызывает сомнений.

- В каждом доказательстве существует три элемента: тезис, аргументы (основания), демонстрация. Тезис - это суждение, истинность и приятие которого устанавливается в доказательстве, аргументы - суждения, из которых выводится тезис, демонстрация - логическая связь тезиса и аргументов, обуславливающая необходимость выведения одного из другого: тезиса из аргумента.

Учитель:

Доказательство в какой-то жизненной ситуации тем убедительнее, чем больше аргументов мы приводим в подтверждение своего тезиса.

Какими бывают доказательства? Применяете ли вы их в своей повседневной жизни?

Учащиеся: предполагаемые ответы)

-Доказательство по определению.

-Доказательство от противного.

-Доказательство по принципу приведения к нелепости, абсурдному.

- Аксиоматическое доказательство. Первоначально формулируется аксиома - бесспорное, понятное и принятое положение, затем строится доказательство, базирующееся, как правило, на нескольких аксиомах

-Фактологическое доказательство, в котором главную роль играют факты.

- Экспериментальное доказательство.

-Индуктивные.

-Дедуктивные.

Учитель:

Приведите примеры из жизни дедуктивного доказательства – доказательства от общего к частному.

Ученики:

-Если идет дождь, земля является мокрой.
Идет дождь.
Земля мокрая.

-Т.к. днём ВСЕГДА светло, то и завтра днём будет светло.

И др.

Учитель:

Какой ещё вид доказательства вам известен? Противоположный дедуктивному.

Учащиеся:

Индуктивный путь доказательства. От частного к общему.

Учитель:

Приведите примеры такого рассуждения.

Ученики:

-Т.к. каждый год моей жизни зимой было холодно, то зимой ВСЕГДА холодно.

-Т.к. все грачи, которых мне доводилось видеть, чёрные, то ВСЕ грачи чёрные.

Учитель:

Что такое постулат?

Ученики:

-то же самое, что аксиома

- то, что не требует доказательства

- в науке, утверждение, которое что принимается без доказательства

Учитель:

Обратимся к энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона (читаем определение постулата, доказательства). Слайд.

В жизни мы также встречаем постулаты:

Пример:

Завтра наступит новый день (запомните его).

Ребята, сегодня мы еще раз убедимся в том, что геометрия построена на этих понятиях.

Предлагаю выполнить задания в рабочих листах

Задание №1(Приложение 1)

Определите неизвестный угол.

Какие знания вы должны применить для его выполнения?

Ученики:

а)110⁰

-Теорему о сумме углов треугольника. ( Сумма углов треугольника равна 180⁰)

б)140⁰

-Теорему о величине внешнего угла треугольника. ( Сумма внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним).

в) 20⁰

-Теорему о величине центрального угла. (Центральный угол треугольника равен величине дуги на которую он опирается)

- Теорему о внешнем угле треугольника. (Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов с ним несмежных.)

Учитель:

В задании под буквой в) угол ∟АОС как называется?

Чему равна величина ∟АОС

Учащиеся:

∟АОС-центральный, внешний по отношению к треугольнику АОВ, величина ∟АОС равна величине дуги на которую он опирается, т.е. 40⁰ .Это внешний угол, поэтому углы А и В в треугольнике АОВ имеют общую градусную меру 40⁰ . ОА и ОВ радиусы окружности, поэтому треугольник равнобедренный и углы А и В равны, как углы при основании в равнобедренном треугольнике, т.е. каждый из них 20⁰. Итак угол АВС=20⁰.

Учитель:

Пусть дуга АС равна 2α, чему тогда равен угол АВС?

Учащиеся:

В соответствии с предыдущей задачей, рассуждая аналогичным способом, угол АВС равен α.

Выполним Задание№ 2. Слайд.

Обратите внимание на сходство и различие чертежей. Сейчас, ребята, вы самостоятельно сформулируете определение вписанного угла. На первом чертеже изображение вписанного угла, на двух других углы вписанными не являются.

Учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, учитель поправляет их определения и предлагает сравнить их с определением на слайде, а затем записать его в рабочий лист.

Учитель:

Выполним Задание№ 3. Слайд.

На слайде вы видите формулировку теоремы, которую нам с вами предстоит доказать.

Выделите условие и заключение.

Учащиеся работают с формулировкой теоремы, выделяя условие и заключение. После такой работы учитель показывает на слайде результат. Слайд.

Учитель:

Впишите формулировку теоремы в рабочий лист.

Учащиеся записывают теорему в рабочие листы.

Учитель:

А сейчас рассмотрим ещё одно определение.

Это определение центрального угла, соответствующего вписанному углу.

Как вы думаете, при каких условиях центральный и вписанный углы можно назвать соответственными.

Учащиеся:

Центральный и вписанный углы можно назвать соответственными, если они опираются на одну и ту же дугу.

Учитель:

Определите на рисунке Задание№ 3 вписанные углы и выполните задание:

Начертите центральные углы, соответствующие вписанным углам.

Учащиеся выполняют задание.

Учитель:

Приступаем к доказательству теоремы.

Посмотрите внимательно на чертежи и ответьте на вопрос: как расположена точка О относительно сторон вписанного угла?

Учащиеся замечают, что центр окружности в случае а) лежит на стороне угла, в случае б) – между сторонами угла, в случае с) – вне угла.

Учитель:

Предлагаю рассмотреть случай а). Для его доказательства нам необходимо вернуться к заданию№1 и применить её решение для доказательства первого случая (свести к задаче, решенной устно).

Учащиеся устно доказывают случай а) у доски.

Учитель:

Случай б) доказываем все вместе (фронтальная работа). Для доказательства выполним дополнительное построение – из вершины угла проведём луч ВО, который разделит угол на два угла. Как выразить величину угла АВС через угол АВД и угол ДВС? Какую аксиому можно применить?

Учащиеся:

Применим аксиому о разбиении угла на два с помощью луча, проходящего между его сторонами. По этой аксиоме угол АВС равен сумме углов АВД и ДВС, а каждый из них равен соответственно половине углов АОД и ДОС, которые в свою очередь равны дугам АД и ДС, составляющих дугу АС.
(Один ученик ведёт запись доказательства на доске.)

Учитель:

Сейчас вам предстоит в парах доказать случай в), сведя его к а) и б)

Учащиеся записывают доказательство третьего случая.

Учитель корректирует работу учащихся в парах.

Учитель:

Итак, теорема доказана.

Вопрос: все ли случаи мы доказали? Почему достаточно рассмотреть только три случая? Учащиеся:

Других случаев нет.

Учитель:

Запишите тему урока в рабочем листе.

Учащиеся формулируют самостоятельно («Теорема о вписанном угле»)

Учитель:

Как вы думаете, какой метод доказательства мы применили?

Учащиеся:

метод рассмотрения всех частных случаев

Учитель:

Такой метод доказательства называется методом полной индукции

Какие методы доказательства вы знаете еще?
(Предполагаемые ответы: метод от противного, метод логического рассуждения)

Учитель:

Вернёмся к постулатам.

Теория Евклида, теория Лобачевского. Разные – почему?

Зависит от базовых понятий, аксиом. В чём главное отличие этих теорий?

Суть отличия – в теореме о параллельных прямых

В жизни, ребята, вы где встречаетесь с постулатами? Вспомните, в начале урока мы сформулировали постулат: завтра наступит новый день. А на Луне наступит?

Учащиеся высказывают своё мнение.

Учитель:

Выполняем Задание№ 4

Выпишите понятия, с которыми сегодня познакомились.

Учащиеся:

(Вписанный угол, центральный угол, соответствующий вписанному, постулаты, доказательства, метод полной индукции)

Учитель:

Я приготовила для вас несколько постулатов
1. Никогда не поздно начать всё сначала

1. Всё, что ни делается – всё к лучшему

2. Век живи – век учись

3. Не ошибается тот, кто ничего не делает

4. Невозможное – возможно (слайд).
   
   

Предлагаю выбрать для себя тот, который вам больше всего подходит сегодня. А может у вас есть свой – поделитесь.

Учащиеся высказываются.

Учитель:

Хочу поделиться с вами моим постулатом на сегодня.

Сегодня один из лучших дней в моей жизни.
Будьте готовы к тому, что ваш лотерейный билет сегодня выиграет.
Никто и никогда не знает, где и когда ему выпадет его золотой шанс.
Поэтому всегда будьте готовы к тому, что вам повезёт прямо здесь и сейчас.

Слайд

Учитель даёт пояснения к домашнему заданию.

Спасибо за урок.

Метапредметный подход в образовании

при реализации новых образовательных стандартов

Сейчас в стандарты общего образования вводится метапредметный подход. Что такое метапредметный подход - мало кто знает, а я считаю, что именно этот вопрос стал чрезвычайно актуален, поэтому хочу рассказать, в чем именно состоит суть метапредметного подхода, как сценировать и проводить учебное занятие с использованием принципов метапредметного подхода. Кстати, уже второй год участники Всероссийского конкурса «Учитель года России» активно осваивают этот подход, так как введена специальная номинация «Учебное метапредметное занятие».

Метапредметный подход в образовании и соответственно метапредметные образовательные технологии были разработаны для того, чтобы решить проблему разобщенности, расколотости, оторванности друг от друга разных научных дисциплин и, как следствие, учебных предметов. Отпуская ученика в другую аудиторию на другой урок, мы, как правило, имеем слабое представление о том, как там дальше будет проходить его развитие, развитие мышления, способности воображения или развитие способности самоопределения. Мы имеем очень слабое представление о том, как учащийся будет связывать для себя систему понятий «нашего» учебного предмета с системой понятий другого или как он будет работать с моделями - так же, как на нашем предмете, или как-то по-другому? А как мы, кстати, делаем это сами? Если честно, то очень часто никак. Если ученик нас спросит, как связывать один учебный предмет с другим, он, к сожалению, не получит от нас ясного ответа.

Углубляя собственную предметную специализацию, мы сами порой очень плохо ориентируемся в устройстве другой научной дисциплины и учебного предмета. Мы считаем, что главное - хорошо знать свою область предметного знания и поменьше «тыркаться» в чужую. Особенно глубокая пропасть пролегает между гуманитариями и представителями естественно-научных дисциплин. Но и преподаватели, казалось бы, не столь далеких друг от друга предметов, например, химии и физики, истории и литературы, математики и физики, очень часто не понимают, какие конкретно способы работы со знаниями они передают учащимся; как эти способы связаны друг с другом и на развитие каких именно способностей они направлены. Ответ на эти вопросы требует как раз скоординированной метапредметной работы и введения метапредметной составляющей в программы традиционных учебных предметов.

Такая обособленность разных научных дисциплин и учебных предметов друг от друга досталась нам в наследство еще от XVII века, когда началось бурное развитие научного знания, возникли образовательные модели, которые были ориентированы на воспроизводство и закрепление результатов развития отдельных научных дисциплин и подготовку специалистов под конкретные области знания. Постепенно пул этих дисциплин и все более узких специализаций стал разрастаться, в сфере образования это тут же находило свое отражение: раздробленность научного знания получала свое закрепление в раздробленности учебных дисциплин как в сфере высшего, так и в сфере среднего образования.

Очень многие исследователи фиксируют, что так называемый научный прогресс привел к раздробленности универсума знания, к потере неких универсальных оснований, позволяющих видеть мир в его целостности. Эта раздробленность сохраняется и усиливается по сей день благодаря использованию тех образовательных моделей и тех образовательных программ, которые достались нам от прошлых веков.

Введение метапредметного подхода в образовании - попытка осторожно, постепенно, без всяких резких революционных реформ развернуть образование навстречу новым потребностям и новым вызовам, вызовам уже не XVII, а именно XXI века. В отличие от Нового времени XXI век характеризуется возникновением комплексных проблем, решение которых предполагает в первую очередь междисциплинарное взаимодействие. Примерами таких проблем могут служить выход из строя атомного реактора по типу Чернобыля, уничтожение таких заболеваний, как рак или СПИД, прекращение иррегулярных террористических войн, ликвидация последствий аварии, произошедшей в Мексиканском заливе на глубоководной нефтедобывающей платформе компании Бритиш Петролеум (ВР), которая стала даже не техногенной, а «системогенной» катастрофой. Я вовсе не утверждаю, что каждый выпускник школы должен заниматься решением таких вопросов. Я утверждаю другое: такого рода вопросы определяют основные тренды развития разных институциональных форм деятельности, в которые придется включаться нашим выпускникам.

Сегодня мало иметь диплом об окончании одного вуза. Если хочешь быть конкурентоспособным и востребованным, лучше иметь несколько дипломов. Профессионалы XXI века - специалисты самого широкого профиля, для которых не существует непроходимого водораздела между гуманитарным и естественно-научным знанием, между смежными и, наоборот, совершенно не смежными дисциплинами. Это те, кто легко понимает разные профессиональные языки, кто может включаться в полипрофессиональное взаимодействие при решении очень сложных комплексных проблем и без труда профессионально двигаться в разных полях практики. Именно таких специалистов должно готовить среднее и высшее образование, потому возникают новые требования к педагогу XXI века.

XXI век - век рефлексивных форм знания. Это время, когда мало быть погруженным в «свой» предмет, необходимо знать особенности его устройства, прорывные зоны развития и методы конфигурирования с другими типами знаний. Любой педагог-предметник должен быть еще хотя бы немножко полипредметником, метапредметником. Здесь без освоения метапредметного подхода в образовании, который строится как раз на рефлексии разных форм знания и методов работы с ними, не обойтись.

В конце XX - начале XXI веков в отечественном образовании начали интенсивно развиваться разные направления интегративной работы, возникло много разных типов интеграции. Педагоги-теоретики и педагоги-практики стали активно искать, как преодолеть взаимное отчуждение учебных предметов. В качестве одного из вариантов решения был разработан метапредметный тип интеграции, связанный в первую очередь с разработкой нового содержания образования.

Есть несколько особенностей такого типа интеграции.

Это обязательно работа с деятельностью учащегося, передача учащимся не просто знаний, а именно деятельностных способов работы со знаниями и соответственно деятельностных единиц содержания. Например, понятие может рассматриваться в качестве деятельностной единицы содержания. Об этом замечательно писал выдающийся российский психолог Василий Давыдов - основатель деятельностного подхода в отечественном образовании. За каждым понятием можно восстановить способ его порождения, если учитель раскрывает для учащегося такой способ и передает его последнему как средство его собственного действия, то можно утверждать, что учитель работает с понятием как с деятельностной единицей содержания образования. Подход Давыдова впоследствии был развит его учениками, в том числе нашим коллективом ученых-разработчиков, который возглавляет доктор психологических наук, профессор, директор НИИ ИСРОО Юрий Громыко. Было обнаружено: в качестве деятельностных единиц содержания могут быть рассмотрены не только понятия, но также модели, идеализации, схемы, различения, системы и систематики знаний, задачи, проблемы и разные другие мыследеятельностные образования. Все они имеют универсальный (метапредметный) характер. Говоря это, я имею в виду, что, если вы, работая с определенным предметным понятием, передаете учащемуся, кроме данного предметного материала, обобщенный способ работы с любым предметным понятием, или с моделью как с особого типа мыследеятельным образованием, или с идеализацией, то вы поднимаетесь с предметного уровня на метапредметный. Передаваемый вами способ является универсальным, то есть он применим в случае работы с понятием, с моделью или с идеализацией к разным предметным областям. Допустим, учащийся освоил способ решения задачи на основе соотношения трех параметров на материале математики. Чтобы проверить, насколько глубоко учащийся освоил этот способ, ему предлагают решить тот же тип задачи на соотношение трех параметров уже на материале химии или физики. Если учащийся распознает, что это тот же тип задачи, быстро находит способ, которым надо ее решать, то можно сказать, что это средство (таковым в данном случае выступает способ) учащимся действительно освоено как средство универсальное - матапредметное. Допустим, вы работаете на уроке истории или обществоведения с понятием «государство». Предлагая учащимся разные источники, вы можете показать, что это понятие у разных мыслителей предстает по-разному, в основе разных конструкций понятия лежат совершенно разные ряды различений: у Ленина - один, у Платона - другой, у Осипа Мандельштама - третий. И хотя мы имеем в первом случае дело с текстом политика, во втором - философа, а в третьем - поэта, анализируя их тексты, мы вычленяем некое универсальное метапредметное правило: понятие создается на основе различений. Это правило можно потом проверить при работе с любым другим понятием на любом другом предметном материале.

Метапредметный подход - это очень хорошее знание своего предмета, что, собственно, и позволяет деятельностно пересобирать учебный материал и заново его интерпретировать с точки зрения деятельностных единиц содержания. Метапредметный подход хотя и помогает избежать опасностей узкопредметной специализации, при этом не предполагает отказ от предметной формы, но, напротив, предполагает развитие ее на рефлексивных основаниях.

Отказ от предметной формы организации мышления и, как следствие, от передачи предметных знаний, что предлагали в начале перестройки сделать некоторые реформаторы, означает отказ от многовековых завоеваний человеческой культуры.

Ориентация на развитие у школьников таких базовых способностей, как мышление, воображение, различительная способность, способность целеполагания или самоопределения, идеализационная способность, речевая. Ориентация на развитие способностей как основной показатель качества образовательной работы также определяет специфику метапредметной интеграции.

Новаторство в плане использования разного типа методических приемов. Мы сейчас активно используем такие методические формы, как неделя метапредметного осознания, занятие с рефлексивными остановками, занятие на выстраивание личной учебной стратегии детей, дискуссии с метапредметными комментариями, коллективная игра в мыслительный эксперимент и многие-многие другие.

Учитывая перечисленные особенности метапредметной интеграции, уже понятно, как сценировать учебное занятие с элементами метапредметного подхода. Такое занятие должно быть посвящено метапредметному вопросу, метапредметной теме, то есть такой теме, которая может быть раскрыта на разном предметном материале: «Рисунок и схема», «Маска, роль и позиция», «Знание и мнение», «Знающее незнание». Выбрав метапредметную тему, нужно в первую очередь определить, какому способу деятельности в ее рамках можно научить школьников. Если вы передаете универсальный способ, то должны показать учащимся выходы из своего учебного предмета в другие предметные области знания. Например, тема «Мнение и знание». Эта тема метапредметная, так как имеет отношение к эпистемологии - учению о знании как таковом, независимо от его предметной специфики. Раскрывая эту тему на своем учебном предмете, нужно не просто показать, чем мнение отличается от знания, но и передать средства работы, способ, с помощью которого учащиеся смогут в дальнейшем различать, чем они обладают или чем обладает их собеседник: поверхностным мнением или глубоким личностным знанием изучаемой темы. Такой способ, средство различения знания и мнения, присваиваемые учащимся не информативно, но деятельностно, и будут в этом случае деятельностной единицей содержания. Если в конце урока предложить учащимся применить такое средство на другом предметном материале, это позволит проверить, насколько это средство действительно освоено, а школьнику убедиться в том, что оно носит универсальный характер и может быть использовано на разных учебных предметах.

Хорошее знание своего предмета крайне необходимо при проведении метапредметного учебного занятия. Метапредметный разворот не означает, что нужно делать грубые предметные ошибки и показывать незнание своего учебного предмета.

Нужно ясно представлять, какую базовую способность учитель собирается формировать у школьников во время учебного занятия. У него должна быть некоторая система показателей, позволяющих ему обнаруживать эту способность, диагностировать, что с ней происходит в ходе обучения школьников.

Учитель должен быть готов к импровизации. Настроенность на передачу определенного деятельностного способа и формирование способности предполагает, что он в своей работе будет опираться не просто на тематический план урока, но прежде всего на его сценарий. Отличие педагогического сценирования от планирования состоит в том, что в первом случае учитель сохраняет свободу педагогического действия, во втором нет. Когда он будет сценировать свое учебное занятие, важно учитывать эти особенности. Знание их позволит учителю не путать метапредметный тип интеграции с другими. Весьма распространенный тип ошибки - подмена работы с понятием как единицей мышления и стоящим за ним мыслительным объектом работой со словесными определениями, так как это приводит к вербализму. Вместо того чтобы передавать учащимся сложные интеллектуальные процедуры, учителя подменяли эту деятельность словесной эквилибристикой, выход же к работе с понятиями за рамки определений предполагает как раз метапредметный тип интеграции.

Значение метапредметного подхода в образовании состоит в том, что он позволяет сохранять и отстаивать в обществе культуру мышления и культуру формирования целостного мировоззрения. Поэтому я заранее хотела бы опередить сейчас тех оппонентов, которые скажут, что мы, пропагандируя метапредметный подход в образовании, обучая ему, пытаемся «затолкнуть» педагогов в одно какое-то очень узкое направление развития отечественной педагогики. Это не так. Метапредметный подход вбирает в себя лучшие дидактико-методические образцы развития предметной формы знания, но он при этом открывает новые перспективы развития для такой образовательной формы, как учебный предмет и учебное занятие. Более того, учебный предмет как образовательная форма, конечно, не умрет, но будет развиваться лишь в той мере, в какой эта образовательная форма будет пронизана метапредметным подходом.