Урок-исследование. Геометрия. Сумма углов треугольника.

Этап урока ОНЗ

Содержание учебного материала.

УУД, формирующиеся на данном этапе

I.Мотивация к учебной деятельности.

Приветствует учащихся, организует начало урока в стихотворной форме:

Труд и вера - вот твои доспехи,

И не бойся никаких задач!

Самый же надёжный путь к успеху -

Сложный путь падений и удач.

Выясняет, что необходимо для успешной работы на уроке; желает успешной работы, просит пожать друг другу руки и пожелать успеха.

Регулятивные: волевая саморегуляция.

Личностные: действие смыслообразования.

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества с учителем и со сверстниками.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

Я знаю, что семиклассники, как все дети, любят, часто чрезмерно, играть. Нам игра поможет осознать геометрическую проблему, которую нам на уроке и придется решать.

Предлагаю первую игру: Кто быстрее построит треугольник, один угол которого равен .

Вторая игра: Кто быстрее построит треугольник, один из углов которого , а второй – .

Третья игра: Кто быстрее построит треугольник, в котором один угол , второй – и третий – .

Учитель надеялся, что ученики осознают, что построить треугольник не удается, возникнет проблемная ситуация и гипотеза, что такого не может быть. Потом, разными методами будет открыта теорема и ее доказательство.

Учитель: ни одной из групп не удалось выполнить задание… Случайно это? Обсудите в группах ситуацию и выскажите мнение группы.

Практически всегда (возможно с помощью учителя отдельным группам) группы формулируют утверждение: такой треугольник построить нельзя.

Тогда возникает вопрос: в каком случае удается построить треугольник по трем углам

Познавательные:

общеучебные: умение структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

логические: анализ, синтез, выбор оснований для сравнения.

Регулятивные:

контроль, коррекция;

прогнозирование (при анализе пробного действия перед его выполнением).

III. Выявление места и причины затруднения

Группам предлагаются задания.

Задание первой группе.

Каждый участник чертит в тетради треугольник. Потом измеряет три угла «своего» треугольника и находит сумму мер всех углов. На следующем шаге предлагается:

- сравнить результаты измерений,

- высказать прогноз о сумме углов треугольника.

Задание второй группе.

Материал для группы школьников, которое позволит высказать предположение о сумме углов треугольника путем применения бумаги и непосредственного суммирования углов треугольника.

Исполните такой алгоритм:

1. Сделайте чертеж любого треугольника.

2. Оторвите углы треугольника.

3. Сложите угол, равный сумме углов треугольника.

4. Какую сумму углов получили. Докажите свое предположение.

5. Повторите эксперимент.

6. Выберите того, кто будет рассказывать о Вашем эксперименте (используйте для этого лист ватмана и фломастеры).

Это словесное описания алгоритма дополнялось таким рисунком:

Задание третьей группе (группа тех учеников, которые увлечены математикой).

Изучили правило сложения углов. Пусть даны два угла.

Для сложения совмести углы так, чтобы совпали вершины и одна сторона (см. рисунок)

Покажем, каким образом можно находить сумму углов путем поворота лучей.

Зафиксируем начальное положение луча:

Теперь выполняем поворот против часовой стрелки на первый угол и потом выполняем поворот, также против часовой стрелки, на второй угол, получая конечное положение луча:

Угол между начальным и конечным положениями и дает сумму углов.

Применим такой сложение углов для определения суммы углов треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник:

Зафиксируем начальное положение луча:

Теперь поворачиваем луч АС на угол А вокруг точки А против часовой стрелки, переводя луч в новое положение луча АВ. Теперь луч АВ поворачиваем вокруг точки В на угол В против часовой стрелки. Получаем сумму двух углов треугольника.

Теперь поворачиваем против часовой стрелки на угол С вокруг точки С, получая конечное положение луча.

Угол между начальным и конечным положениями и будет равен сумме углов треугольника. Изучите последний рисунок и выскажите прогноз о сумме углов треугольника.

Можно ли считать, что получено доказательство утверждения о сумме углов треугольника? Изменился ли ответ, если проделали такие действия с ста другими треугольниками и каждый раз получали бы один и тот же вопрос.

После выполнения заданий группы по очереди рассказывают действия, которые выполнили и предположение, к которому пришли.

Таким образом, сформулировано такое предположение: Сумма углов треугольника равна .

Особой удачей на уроке будет ситуация, когда группа, измерявшая углы треугольника не согласится с другими группами на основе своих измерений.

Важно дать возможность другим группам высказать свое мнение. Часто проверка измерений другими группами легко обнаруживает ошибку при «значительных» ошибках. Но важно, чтобы школьники:

- измерения не всегда позволяют высказать прогноз,

необходимо доказывать любое предположение или опровергать его.

Познавательные:

умение структурировать знания;

постановка и формулирование проблемы;

умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание.

IV Построение проекта выхода из затруднения

На этом этапе формулируется основная теорема, выполняется чертеж, записывается условие и требование.

Напоминаем, что по правилам геометрии для обоснования утверждений можно использовать только то, что было изучено ранее. Поэтому учитель предлагает ученикам назвать то, что было изучено в геометрии. Ученики называют:

- признаки равенства треугольников,

- смежные углы и их свойства,

- вертикальные углы и их свойства,

- свойства углов, получаемых при пересечении двух параллельных секущей и др.

Учитель, подводя итоги, обращает внимание, что для доказательства предположения можно использовать то, что было изучено (доказано) ранее. Если доказать не удастся, то потребуется вновь вернуться и вспомним дополнительные сведения, которые не удалось вспомнить первый раз.

На доске воспроизводится чертеж и запись утверждения, которое следует доказать.

Дано: ,

Доказать: .

Обращаемся к первой записи: признаки равенства треугольников. Имеются ли равные треугольники в ситуации, которую получили? Естественно, что ученики не видят равные треугольники.

Можно ли указать действия, которые приведут к появлению равных треугольников? Разумных предложений нет.

Есть у нас другие сведения? Мы не исчерпали весь список, поэтому не следует сразу «упираться» в первую возможность. Следует обратиться другой возможности.

Я рекомендую: попытайтесь применить свойство углов при параллельных и секущей. Ученики соглашаются, но не спрашивают: На основе чего Вы рекомендуете эту возможность? Здесь учитель обращает внимание ребят на то, что такой вопрос закономерен и его следует задавать. Это связано с тем, что из ответа учителя Вы узнаете, какие соображения следует учитывать при выборе средств для доказательства утверждений и решения задач.

Ученики вновь не видят на чертеже параллельных прямых. Напоминание о том, что если отсутствует то, что требуется не повод моментально отказываться от идеи, а повод предпринять какие-то действия, которые приведут к тому, чтобы удалось применить нужные сведения.

Теперь ученики предлагают провести прямую, параллельную стороне треугольника.

На основе предложения учеников через вершину А проводится прямая, параллельная ВС.

Здесь учитель рассказывает ученикам о том, что такое наблюдение и предлагает изучить чертеж и указать объекты, которые они видят.

Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи,

планирование, прогнозирование.

Познавательные:

общеучебные: знаково-символические – моделирование;

выбор наиболее эффективных способов решение задач в зависимости от конкретных условий.

V Реализация построенного проекта

Оформляем доказательство теоремы:

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; управление поведением партнера; умение выражать свои мысли.

Познавательные:

общеучебные: поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска; смысловое чтение и выбор чтения в зависимости от цели; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание;

логические: построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез.

УУД постановки и решения проблем: самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера.

VI Первичное закрепление во внешней речи

После доказательства теоремы рассмотрим решение задачи:

Дано: ,

A = 50°,

B = 100°,

Найти: C.

Решение:

A + B + C = 180° (по теореме о сумме углов)

C = 180° - (A + B) = 180° - (50° + 100°) = 30°.

Ответ: 30°.

Коммуникативные:

управление поведением партнера;

умение выражать свои мысли.

VII Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Решение задач по готовым чертежам.

Найдите неизвестные углы треугольников:

Коммуникативные:

управление поведением партнера;

умение выражать свои мысли.

VIII Включение в систему знаний и повторение

Обобщение можно выполнить методом замены объектов, которые фигурировали в исходном утверждении. Это можно выполнить по такой схеме:

1. Выделить объекты, которые имеются в ситуации, связанной с исходным утверждением.

2. Определить возможные замены.

3. Выполнить одну из замен и высказать прогноз о результате.

4. Сформулировать утверждение.

5. Доказать или опровергнуть утверждение.

Задание первой группы

Членам группы предлагается:

- попытаться высказать прогноз о свойстве внешнего угла треугольника,

- попытаться доказать свой прогноз.

Какую замену объектов применили в данном случае?

Задание второй группы

Эта группа находила сумму углов треугольника с помощью листа бумаги.

Членам группы предлагается:

- попытаться высказать прогноз о сумме трех внешних углах, взятых по одному у каждой вершины,

- попытаться доказать свой прогноз.

Какую замену объектов применили в данном случае?

Задание третьей группы

Эта группа находила сумму углов треугольника с помощью поворотов. Членам группы предлагается:

- попытаться высказать прогноз о сумме трех внешних углах, взятых по одному у каждой вершины,

- попытаться доказать свой прогноз.

Какую замену объектов применили в данном случае?

Регулятивные: контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном;, коррекция; оценка – оценивание качества и уровня усвоения; коррекция.

Познавательные:

общеучебные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание

IX Рефлексия учебной деятельности

Учащимся предлагается назвать три момента, которые у них получились хорошо в процессе урока, и предложить одно действие, которое улучшит их работу на следующем уроке.

Записывают домашнее задание:

Придумайте другие способы доказательства теоремы о сумме углов треугольника, используя следующие чертежи.

Регулятивные: прогнозирование