Урок изучения материала по теме ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ. РЕАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ.

ТЕМА Что такое функция. РЕАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ.

Цели: ввести понятие функциональной зависимости; дать определения независимой переменной (аргумента), зависимой переменной, области определения функции, области значений функции.

Ход урока

Организационный момент

I. Устная работа.

1. Найдите значение выражения.

а) 3x – (2 + 3x) при х = 7,862; б) 2a – (a – 0,3) при а = 0,7;

2. Решите уравнение.

а) 3х = –9; б) ; в) 5а – 15 = 0; г) 3х = 3х + 11; д) (x – 8); е) 3y + = 0.

II. Объяснение нового материала.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, решаемые на этом уроке, направлены на усвоение как самого понятия функции, так и различных способов её задания (словесный, с помощью формулы, табличный, графический). Ученики должны уметь переходить от одного вида задания к другому и находить значения функции при каждом способе задания.

Задача Функция задана графиком:

а) Найти значения функции при х = 0; 2; 3,5; –1.

б) При каком значении х значение функции равно 1; 2; 0?

в) Назвать несколько значений х, при которых значение функции положительно.

г) Назвать несколько значений х, при которых значение функции отрицательно.

Устная работа

Результаты измерений температуры воздуха за сутки даны в следующей таблице:

а) Назовите температуру в 6 ч, 8 ч, 24 ч.

б) В какое время температура была равна +1°, –4°, 11°?

в) Почему эту зависимость можно назвать функцией?

Решение:

Если r – остаток от деления натурального числа п на 4, то можно записать n = 4 · x + r, где 0 ≤ r

Найдем соответствующие значения r:

а) Если п = 13, то 13 = 3 · 4 + 1, то есть r = 1;

б) если п = 34, то 34 = 8 · 4 + 2, то есть r = 2;

в) если п = 43, то 43 = 10 · 4 + 3, то есть r = 3;

г) если п = 100, то 100 = 25 · 4 + 0, то есть r = 0.

В рассматриваемой функциональной зависимости аргументом является переменная п.

Областью определения является множество чисел {13; 34; 43; 100}.

Значениями функции служат числа 0; 1; 2; 3.

IV. Итоги урока. Рефлексия.

– Что называется функцией?

– Что называется аргументом?

– Какими способами можно задать функцию? Назовите преимущества каждого из них.

Домашнее задание:

1. Решите №№ № 259; № 262; № 264.

2. ЗАДАЧА. Функция задана графиком:

а) Найти значения функции при значениях аргумента 0; –2; 1; 3.

б) При каком значении х значение функции равно 2; 0; 1; –1?

в) Назвать несколько значений х, при которых значение функции положительно.

г) Назвать несколько значений х, при которых значение функции отрицательно.

ТЕМА Вычисление значений функции по формуле

Цели: продолжить работу по усвоению понятия функции и связанных с функцией понятий (область определения функции, область значений функции и др.); формировать умение находить значения функций, заданных аналитически (с помощью формулы).

Ход урока

I. Организационный момент

Устная работа.

1. Задайте формулой функцию, сопоставляющую каждому числу третью степень этого числа; сумму этого числа с числом 5.

2. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч и за t ч проходит расстояние s км (зависимость s от t). Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному ; 2; 2 .

II. Объяснение нового материала.

Чаще других в математике и её приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Однако сопоставление разных способов задания выполняет важную роль:

1) и таблицы, и графики служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи;

2) необходимо для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции.

Разбираем пример № 1 со с. 55 учебника. Показываем, что для того, чтобы найти значение функции, необходимо подставить некоторое значение аргумента в формулу.

Также объясняем, что в случае, когда х или область определения функции явно не задана, считают, что она состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

III. Формирование умений и навыков.

Групповая работа

1-я группа.

1.

2. Вычислить значение следующих функций при х, равном –2; –1; 0; 1; 2.

а) у = 3х; б) у = –2х; в) у = –х – 3; г) у = 20х + 4.

2-я группа.

1. № 270. 2. № 271.

Решение:

у = х (х – 3,5)

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) у = 3х + 2; б) у = ; в) у = x⁷ + 2x – 3; г) у = ; д) у = ; е) у = .

2. № 351.Решение:

а) у = . Область определения функции – все числа, кроме тех, при которых х – 4 = 0, то есть х² = 4. Значит, не входят в ООФ х = 2 и х = –2.

б) у = . Область определения функции – все числа, кроме тех, при которых х² + 4 = 0, то есть х² = –4. Уравнение не имеет решения, значит, ООФ – любое число.

Ответ: а) любое число, кроме 2 и –2; б) любое число.

3. Дополнительные задания (для сильных учащихся).

3.1. Найдите область определения функции.

а) у = б) у =

3.2. Задайте формулой какую-нибудь функцию, область определения которой:

а) все действительные числа;

б) все действительные числа, кроме –11;

в) все действительные числа, кроме 3 и 5;

г) все неотрицательные действительные числа;

д) все неположительные действительные числа.;

е) только одно число.

IV. Проверочная работа.

V. Итоги урока. Рефлексия.

VI. Домашнее задание: № 268; № 269; № 272.

Вычисление значений функции по формуле

Цели: продолжить формировать умение находить значение функции по формуле, а также формировать умение находить значение аргумента, соответствующее заданному значению функцию, умение решать практические задачи с использованием функциональной терминологии.

Ход урока

I. Организационный момент

Устная работа.

1. Найдите значение функции у = 2х – 1 для значений аргумента, равного 0; 1; 2; –1.

2. Найдите область определения функции:

а) у = 3х – 7; б) у = ; в) у = x³ – 2x² – 1; г) у = ;

II. Формирование умений и навыков.

1. № 273, № 274.

2. Функция задана формулой у = 2х – 1.

а) Какое значение у соответствует х, равному 10; –4,5; 15; 251; 600?

б) При каком значении х соответствующее значение у равно: –19; –57; 205; –3 ?

Решение:

а) Если х = 10, то у = 2 · 10 – 1 = 19;

если х = –4,5, то у = 2 · (–4,5) – 1 = –10;

если х = 15, то у = 2 · 15 – 1 = 29;

если х = 251, то у = 2 · 251 – 1 = 501;

если х = 600, то у = 2 · 600 – 1 = 1199.

б) Если у = –19, то 2х – 1 = –19;

2х = –19 + 1;

2х = –18;

х = –9; то есть у = –19, при х = –9.

Если у = –57, то 2х – 1 = –57;

2х = –57 + 1;

2х = –56;

х = – 28, то есть у = –57 при х = – 28.

Если у = 205, то 2х – 1 = 205;

2х = 205 + 1;

2х = 206;

х = 103, то есть у = 205 при х = 103.

Если у = –3 , то 2х – 1 = –3 ;

2х = –3,5 + 1;

2х = –2,5;

х = –1,25, то есть у = –3 при х = –1 .

3. Из формулы равномерного движения s = υt выразить скорость υ как функцию пути s и времени t. Вычислить по этой формуле среднюю скорость полета пули, если s = 3 км, t = 6 с.

4. Решение:

Обозначим за т массу пробки в граммах, а за V – объем в см³. Тогда зависимость массы куска пробки от объема можно выразить формулой т = 0,18 · V.

а) Если V = 240, то т = 0,18 · 240 = 43,2 (г);

б) если т = 64,8, то 0,18 · V = 64,18;

V = 64,18 : 0,18;

V = 360 (см³).

Ответ: а) 43,2 г; б) 360 см³.

5. Решение:

Анализ условия:

s = 12 · t.

а) Если t = 3,5, то s = 12 · 3,5 = 42 (км);

б) если s = 30, то 12 · t = 30;

t = 30 : 12;

t = 2,5 (ч).

Ответ: а) 42 км; б) 2,5 ч.

6. № 352.Решение:

Анализ условия:

у = 1,5х + 150.

а) если х = 10, то у = 1,5 · 10 + 150 = 15 + 150 = 165;

б) если у = 180, то 1,5х + 150 = 180;

1,5х = 180 – 150;

1,5х = 30;

х = 30 : 1,5;

х = 20, значит, у = 180 при х = 20.

Ответ: а) у = 165; б) х = 20.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Функция задана формулой у = 3х – 7. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Найдите значение аргумента, при котором функция у = –3х – 2 принимает значение 0,3.

3. Запишите область определения функции, заданной формулой
у = .

Вариант 2

1. Функция задана формулой у = 5 + 2х. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Найдите значение аргумента, при котором функция у = –5х + 11 принимает значение 0,2.

3. Запишите область определения функции, заданной формулой
у = .

IV. Итоги урока. Рефлексия.

– Дайте определение функции. Что называется аргументом, значением функции?

– Объясните на примере функции, заданной формулой у = 3х + 18

Домашнее задание: № 275; № 277; № 279; № 353.