УРОК ПО ТЕМЕ "Векторы в пространстве. Действия над векторами"

Характеристика урока:

Данный урок является вторым в разделе «Векторы».

Теме «Векторы в пространстве» в примерной программе ФИРО отводится 12 часов.

Темы разбиты следующим образом:

Понятие вектора. Действия над векторами

1.Скалярные и векторные величины. Угол между векторами. Сумма векторов

2.Противоположные векторы. Разность векторов. Умножение вектора на число

3.Коллинеарные векторы. Разложение вектора

Прямоугольная декартова система координат

4.Прямоугольная декартова система координат. Координаты вектора. Длина вектора

5.Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения

6.Угол между векторами

Для гуманитарного и естественно-научного профилей профессионального образования более характерным является усиление общекультурной составляющей учебной дисциплины с ориентацией на визуально-образный и логический стили учебной работы.

Урок проводится в нестандартной форме с целью поддержания интереса к предмету. Учащиеся на подобных уроках получают хороший эмоциональный заряд, так как урок проходит в непринужденной доброжелательной обстановке. Важным положительным эффектом применения компьютерной техники на уроке является повышение мотивации учения. При изучении темы “Векторы в пространстве” необходимо актуализировать довольно большой объем знаний, полученных в 9 классе. С использованием компьютера этот процесс идет значительно быстрее, а за счет экономии времени удается рассмотреть большее количество задач, сократить время на повторение пройденного материала и усвоение нового материала за счет большей наглядности и активизации зрительной памяти. Чертеж, выполненный на доске, проигрывает виртуальному уже хотя бы потому, что виртуальный можно воспроизводить в неизменном виде (что актуально для зрительной памяти) любое количество раз; при необходимости можно возвращаться к предыдущим этапам построения.

Использование компьютерных технологий в образовательном процессе вообще и на уроках математики в частности, позволяет придти к следующим выводам:

Мультимедийная система обеспечивает:

• Наглядность материала, в том числе, за счет звука, цвета, движения;

• Ускорение темпа урока;

• Свободу постоянного экспериментирования с целью улучшения методики преподавания;

• Последовательный характер обучения за счет планомерного накапливания наглядных электронных пособий, позволяющих с легкостью в любой момент вернуться к уже знакомым, эмоционально окрашенным образам пройденного материала, которые могут быть гораздо экспрессивнее всем известных опорных сигналов.

Компьютер на уроке - это педагогическая реальность, которая твердо вошла в нашу жизнь; при этом компьютер можно рассматривать как еще одно дополнение к процессу обучения, а не заменяющее учителя и учебник средство обучения.

В этой теме основной акцент делается на формирование наглядных представлений. Для каждого из рассматриваемых случаев даются определения и некоторые признаки. При изучении определений и свойств векторов основное внимание необходимо уделить усвоению формулировок и умению применять их к решению задач.

Основное внимание направлено на задачи вычисления суммы и разности векторов, нахождения координат вектора, через начало и конец вектора , умножения вектора на число, а также признака коллинеарности векторов. При повторении определений равных и сонаправленых, противоположных и противоположнонаправленных векторов особое внимание следует уделить “реальному” изображению этих векторов. С этой целью различные векторы иллюстрирую на отдельных слайдах и на прямоугольном параллелепипеде.

Работая на уроке, учащиеся овладевают:

1. Учебно-интеллектуальными умениями и навыками:

- по формулам вычисляют координаты вектора, длину вектора, сумму и разность векторов, умножают вектор на число.

2. Учебно-исследовательским:

- анализируют учебный материал 9 класса , сравнивают коллинеарные векторы, равные, сонаправленные, противоположные и противоположнонаправленные векторы по их координатам и представляя их графически.

3. Учебно-организационными:

- планируют работу, осуществляют самоконтроль.

Чтобы урок для учащихся был активным и максимально индивидуализированным, чтобы реализовались особенности каждого учащегося, применяю технологию интерактивного обучения с опорными конспектами.

Тема урока: Векторы в пространстве. Действия с векторами

Цели урока:

образовательные:

• Ввести понятие вектора в пространстве, его длины, понятие коллинеарных и равных векторов; действия над векторами в пространстве.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.

• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.

• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.

методические:

• Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.

• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: урок с компьютерным сопровождением.

Интерактивная технология: работа с опорным конспектом, во время компьютерного сопровождения

Учебный предмет: геометрия

Уровень образования школьников: урок проводился с учащимися 1 курса колледжа «Подмосковье».

Метод обучения: наглядный; демонстрация мультимедийной презентации.

Дидактическое обеспечение:

• тесты;

• опорные конспекты “Векторы на плоскости и в пространстве”.

Материально-техническое обеспечение:

• Компьютер.

• Экран.

• Мультимедийный проектор.

• Мультимедийная презентация.

Межпредметные связи:

Алгебра: «Действия над действительными числами»

Физика: «Сила», «Скорость», «Движение», «Давление»

А так же биология, химия, экономика, психология, литература

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности.

3. Изучение нового материала и применение знаний при решении типовых задач.

4. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

5. Задание на дом.

6. Рефлексия.

7. Итог урока.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует учащихся и отмечает в журнале отсутствующих.

II. Мотивация учебной деятельности.

Вступительное слово преподавателя:

(слайд 1)

Эпиграфом к нашему уроку я взяла высказывание американского физика Юджина Пола Вигнера: “Математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями“. Сегодня как раз мы и будем заниматься такими хитроумными операциями над специально разработанными понятиями.

(слайд 2) Шарада:

Мой первый слог - почтенный срок,

Коль прожит он недаром;

Модель второго на столе,

Румяна, с пылу с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий».

(Век-тор)

Слайд(3-4)

Преподаватель сообщает тему урока и ставит задачу совместного сотрудничества с учащимися на период урока,

Слайд(5-8)

В наши дни понятие «вектор» постоянно встречается в газетных и журнальных пуб­ликациях, в выступлениях политиков, уче­ных, педагогов. Обсуждая важнейшие про­цессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора раз­вития системы образования.

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор.

Понятие о век­торе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованно­го человека.

Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831).

А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу

Гибсс - американский физик, физикохимик, математик и механик, один из создателей векторного анализа, статистической физики, математической теории термодинамики, что во многом предопределило развитие современных точных наук и естествознания в целом.

Образ Гиббса запечатлён в «Галерее славы великих американцев». Его имя присвоено многим величинам и понятиям химической термодинамики: энергия Гиббса, парадокс Гиббса, правило фаз Гиббса, уравнения Гиббса - Гельмгольца, уравнения Гиббса - Дюгема, лемма Гиббса, треугольник Гиббса - Розебома и др.

(Слайд 6)

Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа.

Слайд(7)

Почти одновременно с ним исследованиями в том же направлении занимался

английский математик - Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879)

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

( Слайд 8) Коши

Слайд(9)

Векторы всюду.

Предлагается учащимся сделать небольшие выступления по заданной теме

1-ый учащийся

Вектор используются везде, даже там, где мы их не замечаем, например в литературе:

Маргарита Алигер, биография которой вызывает искренний интерес у поклонников ее творчества, – знаменитая советская поэтесса, удостоившаяся Сталинской премии второй степени за поэму «Зоя» о бесстрашном подвиге советской девушки Зои Космодемьянской. После семилетки училась в химическом техникуме. С детства писала стихи.

Векторы в физике.

О, физика, наука из наук!
Все впереди!
Как мало за плечами!
Пусть химия нам будет вместо рук,
Пусть станет математика очами.
Не разлучайте этих трех сестер,
Познания всего в подлунном мире.
Тогда лишь будет ум и глаз остер,
И знанье человеческое шире.

Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу равна нулю. А сила, как известно, векторная величина.

2 –ой учащийся

В химии. Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца. Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее, основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

3 –ий учащийся

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы. Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

4-ый учащийся

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора. Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

5-ый учащийся

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов. Системно-векторная психология позиционируется не как отрасль классической психологии или определенное течение, а как отдельная наука изучения типологии личности.

Вектор – это симбиоз физиологических и психологических качеств человека. Это - характер, темперамент, здоровье, привычки индивида.

Векторы в повседневной жизни

Мы обратили внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются нам каждый день, т.е. повседневно. Векторы – указатели, которые помогают нам быстро найти тот или иной объект, отдел и сэкономить время, или стрелки дорожных знаков.

Слайд(10)

В курсе 9 класса вы изучали векторы на плоскости

Перед нами стоит задача – дать определение вектора в пространстве, научиться находить его длину по координатам начала и конца вектора и рассмотреть основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, а также рассмотреть коллинеарные и компланарные векторы.

Поставленную перед нами задачу мы будем решать на основе сравнительного анализа и установления закономерностей: как давались определения вектора и операций над векторами на плоскости и как они формулируются для векторов в пространстве. На каждой парте лежат опорные конспекты, правую часть которых необходимо заполнить учащимся, пользуясь материалом учебника.

III. Изучение нового материала и применение знаний при решении типовых задач.

На прошлом уроке вы составляли опорные конспекты. где отмечали основные определения и действия с векторами на плоскости. Теперь я предлагаю вам в этих же конспектах заполнить вторую часть их

Вопросы:

(слайд12)

Дайте определение вектора в пространстве и запишите его в таблицу.

(слайд 13)

Как найти координаты вектора, зная координаты точек начала и конца вектора., запишите в таблицу

(слайд 14)

Задача Найдите координаты вектора , если М(10; -4; 2) и К(16; 2 -5).

Ответ: (6; 6; -7)

(слайд 15)

Как вычислить длину вектора, зная его координаты, запишите в таблицу

(слайд 16)

Задача 2. Найдите модуль вектора ( - 5; 1; 2).

Ответ:

(слайд 17)

Любая точка пространства является нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна 0.

(слайды 18 -20 )

Коллинеарные вектора, сонаправленные, противоположнонаправленные, признак коллинеарности , записать в таблицу

(слайд21)

(слайд 22)

Устно решить задачу. Какие векторы на рисунке сонаправлены, противоположнонаправлены. Найти длины векторов

(слайд23,24)

Равенство векторов, противоположные векторы, записать в таблицу

(слайд25)

Могут быть ли равными векторы?

( слайд26)

Сколько равных векторов изображено на рисунках?

(слайд 27)

При каком значении n векторы (4; 2n - 1; -1) и (4; 9 – 3n; -1) равны?

Ответ: при n = 2

(слайд 28)

Лови ошибку.

(слайд 29)

Назовите векторы.

( слайды30-36)

Дайте определение суммы векторов. А если сложить несколько векторов в пространстве, какая фигура получится?

Заметили ли вы, что многоугольник, который получается при построении суммы нескольких векторов, может оказаться пространственным, т. е. не все его вершины лежат в одной плоскости?

(слайд 37)

Задача 5. Найдите сумму векторов и , если А(2; 3; -1), С(3; -2; 0), а В – произвольная точка пространства

Ответ: (1; -5; 1)

(слайды 38-39)

Дайте определение разности векторов.,запишите в таблицу

(слайд 40)

Задача 6. Найдите разность векторов и , если В(3; 7; 10), С(1; 9; -6), а А – произвольная точка пространства.

Ответ: (2; -2; 16)

(слайды 41-43)

Как умножается вектор на число?,запишите в таблицу

(слайд 44)

Задача 7. Найдите координаты вектора с = 2а -3b, если а(7; -3; 0) и b(4; 1; -2)

Ответ: (2; -9; 6)

(слайд 45)

Задача 8. Найдите абсолютную величину вектора 3 , если (4; -4; 2) Рассмотреть 2 способа решения.

Ответ: = 18

1. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

(слайд 50)

Устный тест:

1.Что называется вектором?

а)любой отрезок

б)отрезок, обозначенный двумя заглавными латинскими буквами

в) отрезок с выбранным направлением

2. Какой вектор является нулевым?

а)длина вектора равна 0

б)вектор лежит на прямой

в)вектор обозначен одной буквой

3. Векторы коллинеарны, если…

а)лежат на прямых

б)лежат на параллельных прямых

в)один из векторов нулевой

5. Векторы называются равными, если …

а)их длины равны

б)их модули равны и векторы направлены в одну сторону

в)они отложены от одной точки

(слайд 52)

Даны векторы (-3; 0; 4) и (2; 4; -4)

Запишите:

1. Длину вектора .

2. При каких значениях k и m вектор (k; -3; m) коллинеарен вектору ?

3. Из векторов (1; 1; -2), (-1; -2; 2), (2; -4; 4), (-4; -4; 2) укажите векторы противоположнонаправленные с вектором .

(Слайд53)

Дано: 



Решение

1. Находим координаты вектора 

 ;

1. Затем находим координаты вектора

1. Теперь находим аналогично координаты вектора 

1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты: 

Ответ:

С учетом познавательных и когнитивных способностей необходимо учащимся раздать разноуровневые задания на применение навыков и умений действий над векторами (работа в тетрадях).

Вариант А

1. Найдите координаты вектора , если

2. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

Вариант В

1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

2. Даны векторы Найдите координаты вектора

3. Найдите длину вектора , если

Вариант С

1. Даны векторы Найдите координаты вектора

2. Найдите длину вектора , если

3. Из точки построен вектор . Найдите координаты точки , если:

1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

Данный вид работы учащиеся выполняют в тетрадях, после чего учитель собирает тетради для проверки.

V. Задание на дом. (слайд 54)

VI. Рефлексия. (слад 55)

Закончи предложение: Я умею …, я могу …, я знаю ….

VII. Итог урока. Оценивание учащихся.