Урок повторения. Приближенное значение величины, точность приближения. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.

9 Алгебра

17-18.10.2022

Два урока

Тема: Приближенное значение величины, точность приближения.

Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.

ТОЛЬКО С АЛГЕБРОЙ НАЧИНАЕТСЯ

СТРОГОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ УЧЕНИЕ.

Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ

Ход урока

При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел, определении скорости и расстояния получаются числа, выражающие эти величины.

Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.

У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.

Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.

Такую неточность называют погрешностью измерения.

В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.

Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см.

Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений.

Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Определение:

Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.

Абсолютная погрешность показывает разницу между точным и приближённым значением в абсолютном выражении, не указывая, в какую сторону ошиблись при вычислении – увеличения или уменьшения числа.

Задание №1

1) 17,26 ≈ 17,3.

Абсолютная погрешность равна | 17,26 – 17,3 | = | –0,04 | = 0,04.

2) 12,034 ≈ 12,0.

Абсолютная погрешность равна | 12,034 – 12,0 | = | 0,034 | = 0,034.

3) 8,654 ≈ 8,7.

Абсолютная погрешность равна | 8,654 – 8,7 | = | –0,046 | = 0,046.

Задание №2

а) 9,87 ≈ 10.

Абсолютная погрешность равна | 9,87 – 10 | = | – 0,13 | = 0,13.

б) 124 ≈ 120.

Абсолютная погрешность равна | 124 – 120 | = | 4 | = 4.

Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти.

Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.

Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD.

Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см.

Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком.

Если истинную длину отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:

7

Пусть истинное значение измеряемой величины равно x.

Измерение дало результат a.

Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.

Число h называют границей абсолютной погрешности измерения.

⩽ h

Вообще, если х ≈ а и абсолютная погрешность этого приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближённым значением х с точностью до h.

Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.

Вот, например, комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.

Точность приближения или его качество, как правило, характеризуется не абсолютной его погрешностью, а относительной.

Допустим, при измерении (в сантиметрах) длины некоторой детали и длины комнаты получены результаты:

а = 10 ± 1 (длина детали);

b = 500 ± 1 (длина комнаты).

В первом случае относительная погрешность составляет , во втором . Выразив относительную погрешность в процентах, получим 10 % и 0,2 %.

В ы в о д: чем меньше относительная погрешность приближения, тем приближение считается более точным.

Задание №3

Округлите число единиц и найдите относительную погрешность округления:

а) 1,7; б) 5,314.

Р е ш е н и е

а) 1,7 ≈ 2.

Абсолютная погрешность равна | 1,7 – 2 | = 0,3.

Относительная погрешность равна ∙ 100 % = 15 %.

б) 5,314 ≈ 5.

Абсолютная погрешность равна | 5,314 – 5 | = 0,314.

Относительная погрешность равна ∙ 100 % = 6,28 %.

О т в е т: 15 %; б) 6,28 %.

ВЫПОЛНИТЕ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ВНИМАНИЕ! ЗАДАЧИ ПИСЬМЕННО ВЫПОЛНЯТЬ НЕ НУЖНО, ВЫ ПРИСЛАЕТЕ ТОЛЬКО ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТА

(ответ выберите из предложенных)

Список вопросов теста.

1. Округлите число 57497 до сотен.

1) 58000 2) 58497 3) 57500 4) 60000

2. Округлите число 254,863 до десятых.

1) 254,8 2) 254,9 3) 254,96 4) 250,863

3. Толщину одной и той же детали измерили штангенциркулем, микрометром и линейкой и получили соответственно результаты 2,6 мм, 2,49 мм и 2мм. Каким инструментом было произведено более точное измерение, если толщина детали равна 2,5мм?

1) штангенциркулем 2) микрометром

3) линейкой 4) всеми инструментами

4. Пусть a – приближенное значение числа b. Найдите погрешность приближения, если а = 14,7 и b = 14,724.

1) 0.024 2) – 0,024 3) 0,24 4) -0,24

5. Температура t воздуха в холодильной камере 7º. В качестве приближенного значения взято число 7.5º. Найдите абсолютную погрешность приближения.

Ответ:________________________

6. Пусть x= 12,7 ±0,2.

Из чисел: А=12,91 Б= 12,95 В=12,501 Г= 12,52 выберите те, которые может принимать число х.

1) А, В 2) А,Б 3) Б, В 4) В, Г

Ребята! Фото домашнего задания присылают только:

Жилицына Екатерина, Балалаешников Максим, Яровая Вера и Шпинер Марк.