Урок повторения в 11 классе «Производная функции»

Пояснительная записка

 При подготовке к ЕГЭ по математике задания В7  вызывают значительную сложность у выпускников. Это, прежде всего, продиктовано неумением учащихся внимательно  «вчитываться» в текст задачи. Выбранная иллюстрация разбора заданий предполагает закрепление у учащихся базовых предметных знаний и умений:

• умение читать график функции и график производной функции,

• умения понимать геометрический смысл производной,

• умение находить угловой коэффициент касательной из прямоугольного треугольника,

• нахождение промежутков возрастания (убывания) функции по графику её производной,

• нахождение точек экстремума, максимума или минимума функции на отрезке по графику её производной,

• умения находить по графику функции точки, в которых производная функции равна нулю.

• умения понимать физический смысл производной

 Цель: развивать у обучающихся навыки применения теоретических знаний по теме «Применение производной для решения задания В7 ЕГЭ».

Задачи:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по темам «Функция и производная », рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Развивающие: способствовать развитию памяти, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).

Воспитательные: способствовать:

формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Оборудование и материалы для урока: ноутбук, презентация, карточки с заданиями.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Использование педагогических технологий: дифференцированное обучение, использование информационных технологий, взаимоконтроль, самопроверка.

Тип урока: урок обобщения и систематизации предметных знаний, умений, навыков.

Планируемые образовательные результаты

Ход урока

1. Орг. момент, актуализация знаний, необходимых для практической части материалов ЕГЭ.

Тема нашего урока - повторение изученного материала. А что конкретно мы будем повторять - вы должны определить самостоятельно. Узнаем одно из математических понятий, входящее в тему урока. Для этого  прослушайте загадку:

«Три ученика дали свои определения одному математическому понятию:

1. Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента притом, что приращение аргумента стремиться к нулю

2. Это скорость изменения функции

3. Это мгновенная скорость движения

Что это за понятие?»

Одно из слов в теме мы узнали. Теперь вторая загадка.

Что это за понятие? Три варианта ответа учеников.

1. Это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует

2. Это точки максимума и минимума

3. На графике это «бугорки» и «впадины»

Даются точные определения точек экстремума и производной.

2. Сообщение темы и цели урока, мотивация учебной деятельности.

В ходе беседы формулируется тема и цель урока.

Итак, сегодня на уроке нам предстоит рассмотреть различные типы заданий В7 и способы их решения. Наша цель – научиться решать задания любой степени сложности, связанные, так или иначе, с исследованием функции по графику её производной. В ЕГЭ задания такого типа повторяются из года в год, причём формулировки вопросов постоянно изменяются.

Тема урока «Применение производной для решения задач». Откройте тетради, запишите число, классная работа.

3. Практическая часть.

Разберем типы задач, которые встречаются в ЕГЭ.

1 тип задач условно назовем « Монотонность функции и производная». Вспомним, как монотонность функции связана с производной?

По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов.

Одна пара учеников задает вопросы, другая – отвечает на них. И наоборот. (Учитель дополняет)

1. Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

2. Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1]

3. Найдите промежутки возрастания функции у =f (x).

4. Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

5. Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

6. В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наибольшее значение?

7. В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наименьшее значение?

8. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3.

9. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5 или совпадает с ней.

10. К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135°

к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён

график производной функции. Укажите количество точек

касания

Какие еще вопросы можно задать к графику функции?

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0.

3. В какой из точек -7,-6, -4 производная принимает наибольшее (наименьшее) значение.

4. Найти сумму точек экстремума функции.

Итак, рассмотрев типовые задачи 1 группы можно сказать, что для их решения нужно помнить о том, как связаны монотонность функции и ее производная.

2 тип задач – на применение механического смысла производной

Может быть и такое задание.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8).

Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Подведем итог решения задач второго типа: не смотря на разнообразные формулировки задач, их решение сводится к равенству f `(x₀) = tg α = k

3 тип задач – на применение механического смысла производной

Вспомним, в чем заключается физический смысл производной.

Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³ + t – 3. Найти скорость в момент времени t. В какой момент времени скорость будет равна 7 м/с (х – координата точки в метрах, t – время в секундах). Как вы думаете как её решить.

Самостоятельная работа. Проверим, то как вы усвоили способы решения рассмотренных задач.

Карточки.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

Проверка по образцу.

Защита выполненных заданий.

2) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка "Чем дальше в лес, тем больше дров".

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая. Я вам желаю, чтобы производная подготовки к экзамену была положительной.

Итог урока. Сегодня мы с вами рассмотрели задания по теме «Применение производной для решения задач», наиболее часто встречающиеся в ЕГЭ. Чем больше разнообразных методов решения подобных задач вы будите знать, тем легче вам будет решать нестандартные задания, что, несомненно, придаст вам уверенности в себе и поможет успешно пройти итоговую аттестацию.

- Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?

-Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.

Я почувствовал…

Я научился…

У меня получилось …

Я смог…

Я попробую …

Меня удивило, что …

Мне захотелось…

-Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

-Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В7).

Спасибо за работу!