Урок в 10 классе: "Тригонометрические функции числового аргумента"

Тригонометрические функции числового аргумента

Радианная мера угла. Угол поворота.

Определение. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

R

0

1 рад.

R

Определение. Угол в 1 градус — это 1/180 часть развернутого угла. Чтобы начертить угол в 1 °, надо взять полуокружность, разделить ее на 180 равных частей, концы одной из дуг соединить с центром.

Формула. Связь радианной и градусной мер:

2

Радианная мера угла. Угол поворота.

Формула. Связь радианной и градусной мер:

Задание 1. Выразить величины углов в радианной мере:

Задание 2. Выразить в градусной мере величины углов:

2

Определение. Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

При повороте на угол π/2 (90°) А(1;0) перейдет в В(0;1) , а при повороте на -π/2 А(1;0) перейдет в С(0;-1) .

y

B

E

1

x рад.

D

-1

A

1

0

x

При повороте на угол х радиан А переходит в Е (cos x; sin x) .

-1

C

4

Определения sin(), cos(), tg(), ctg()

Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к R.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки В к R.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

y

y

B(x, y)

x

R

α

x

5

Определения sin(), cos(), tg(), ctg()

Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к R.

y

B(x, y)

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки В к R.

R

α

x

Определения sin(), cos(), tg(), ctg()

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

y

B(x, y)

R

α

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

x

ЗНАКИ Sin(х), Cos(х), Tg(х), Ctg(х).

Знаки sin(х) Знаки cos(х) Знаки tg(х), ctg(х)

y

y

y

y

y

-

+

+

-

+

+

+

+

x

x

x

x

x

+

-

+

-

-

-

-

-

8

Значения тригонометрических функций

8

Свойства тригонометрических функций

8

Формулы приведения:

Задание 3 . Найти числовое значение выражения.

Основные формулы тригонометрии

Формула. Основные тригонометрические тождества:

Задание 4. Существуют ли числа α, β, γ, для которых :

Задание 5. Может ли sin и cos одного и того же числа быть равным соответственно: и

Задание 6. Могут ли tg и ctg одного и того же числа быть равным соответственно: и

Задание 7. Найти значения других трех основных тригонометрических функций, если:

Основные формулы тригонометрии

Формула. Формулы сложения:

Задание 8. Упростить:

Задание 9. Вычислить:

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

• Выразить в градусной мере величины углов:

• Выразить в радианной мере величины углов:

60 °, 72°, 270°.

π/6, 3π/5, π.

2. Упростить:

2. Упростить:

3. Дано: sin α=-5/13, π

3. Дано: cos α=3/5, 0

Основные формулы тригонометрии

Формула. Формулы суммы и разности sin и cos:

Основные формулы тригонометрии

Формула. Формулы двойного аргумента:

Формула. Формулы понижения степени:

Пример. Найти значение tg(5 π/8 ) без помощи таблиц:

Решение:

Заметим, что . Поэтому .

Ответ:

0 cos(α/2)0, tg(α/2)0. Из формулы понижения степени находим: " width="640"

Пример. Найти sin( α/2 ), cos( α/2 ) и tg( α/2 ), если известно, что cos α=0,8 и 0

Решение:

Так как угол α/2 находится в первой четверти, sin(α/2)0

cos(α/2)0, tg(α/2)0.

Из формулы понижения степени находим:

Основные формулы тригонометрии

Формула.

Задание 12. Преобразовать данное выражение, чтобы аргумент соответствующей тригонометрической функции принадлежал промежутку (0; π/2 ).

Основные формулы тригонометрии

Формула.

Задание 14. Верно ли равенство:

Задание 18. Вычислить длину дуги, если известны ее радианная мера α и радиус R содержащей ее окружности :

α=2, R=1 см .

Задание 19. Вычислить площадь сектора, если известны радианная мера α центрального угла сектора и радиус R круга : α=0,1, R=1 м.

Задание 20. Найти радианную меру центрального угла сектора, если длина соответствующей дуги равна диаметру круга .

Задание 21. Найти значение выражения:

Задание 24. Доказать тождество:

Подготовка к контрольной работе

Задание 1. Упростить:

Подготовка к контрольной работе

Задание 2. Вычислить:

Подготовка к контрольной работе

Задание 3. Доказать тождество:

Подготовка к контрольной работе

Задание 4. Определить знак выражения: