Условие и решение олимпиадных задач по математике (для 7 класса)

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ:

1. Доказать, что

не делиться на 7.

1. На стороне АВ квадрата ABCD отмечена произвольная точка М. Биссектриса угла CDM пересекает сторону ВС в точке N. Доказать, что AM + NC = DM.

2. Доказать, что квадрат нечетного числа вида 2n + 3 при делении на 8 всегда дает в остатке 1.

3. Доказать, что сумму трех квадратов вида _{ } можно представить в виде суммы шести квадратов.

4. Определить числа

_ = еедди

Решение заданий Доказать, что

не делиться на 7.

Решение.

Доказательство:

1+13 + 13² + … +13²⁰⁰⁶ +13²⁰⁰⁷ = (1+13) +13²(1+13)+13⁴(1+13)+…+13²⁰⁰⁵(1+13)+13²⁰⁰⁷ =

= 14 (1+13²+13⁴+…+13²⁰⁰⁵)+13²⁰⁰⁷

Не делится на 7, что нам и требовалось доказать.

Ответ: число не делится на 7.

1.  На стороне АВ квадрата ABCD отмечена произвольная точка М. Биссектриса угла CDM пересекает сторону ВС в точке N. Доказать, что AM + NC = DM.

Решение.

На луче DС отложим отрезок DK, равный отрезку DM. Затем проведем отрезок KM, а затем в треугольнике DMK проведем высоту KS . Пусть (по условию) ⦟MDN =⦟KDN = α.

Прямоугольные треугольники DSK и MAD равны по гипотенузе и острому углу (AMD и SDK), DK=DM по построению, ⦟KDS =⦟DMA = 2α, следовательно, DS=AM, KS=DA.

Прямоугольные треугольники DCN, KSM равны по катету (SK и DC) и острому углу (KS = DA = DC, ⦟CND =90°-α, ⦟DMK = 180°- 2α/2 = 90° - α, поэтому ⦟СND = ⦟DMK = 90°-α. Следовательно, CN = SM.

Из двух равенств DS=AM, KS=DA и второго равенства CN = SM получаем: DM = DS + SM = AM + CN.

Ответ: AM + CN = DM – верно.

1. Доказать, что квадрат нечетного числа вида 2n + 3 при делении на 8 всегда дает в остатке 1.

Решение.

(2n+3)² = 4n²+12n+9 = 4n(n+3)+8+1

n(n+3) всегда делится на 2, значит,

4n(n+3)+8 делится на 8, следовательно, (2n+3)² = (4n(n+3)+8)+1=8k+1 даёт в остатке 1 при делении на 8. 

Нечетное число при делении на 8 может дать один из остатков – 1,3,5,7, а квадраты этих чисел – 1,9,25,49 при делении на 8 дают остаток 1.

Ответ: поскольку слагаемое в скобке делится на 8, то доказываемое очевидно.

1. Доказать, что сумму трех квадратов вида _{ } можно представить в виде суммы шести квадратов.

Решение.

(2a)²+(2b)²+(2c)²

(a+b)²+(a-b)²+(a+c)²+(a-c)²+(b+c)²+(b-c)² = 4a²+4b²+4c²

Ответ: сумму трех квадратов вида (2a)²+(2b)²+(2c)²

можно представить в виде суммы шести квадратов.

1. Определить числа

_ = еедди

Решение. √девятизначное число = пятизначное число

еедди* еедди = феодализм

√523814769 = 22887

Ответ: √523814769 = 22887