Устойчивость равномерных вращений абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку

За последние годы наблюдается бурное развитие теории устойчивости, вызванное потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления. Так же теорию устойчивости применяют и вдругих сферах деятельности , таких как экономика, медицина и другие. Например, проблема устойчивости функционирования предприятия как первичного звена экономики непосредственно связана с эффективностью производства, устойчивостью экономического роста. Новые усовершенствования и открытия в приложениях и в других областях математики являются движущей силой развития теории устойчивости решений дифференциальных уравнений . Кроме того , вместе с ней подлежат развитию и ее разделы,многие из которых в настоящее время стали самостоятельными науками ( переключить слайд )

Теория устойчивости — техническая и физико-математическая дисциплина, изучающая закономерности поведения систем под действием внешних воздействий.

В аналитическом аспекте является разделом теории дифференциальных уравнений.

В прикладном аспекте наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем, поскольку именно механика, как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами устойчивости. Эйлер впервые строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой (эластика Эйлера). ( след.слайд)

В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А. М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения. Ляпунов по праву считается создателем теории устойчивости.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым. ( след.слайд)

Устойчивость равномерных вращений абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку, по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях относится к критическому случаю двух пар чисто мнимых корней и двукратного нулевого корня.

Истории развития понятия устойчивости посвящена первая глава. В связи с тем, что развитие происходило не в одном направлении, а в нескольких, они достаточно сильно отличаются друг от друга.

Целью дипломной работы являлось изучение различных вариантов теории устойчивости решения дифференциальных уравнений; сопоставительный анализ особенностей каждого их этих направлений и возможности их практического применения для задач механики и других естественных наук. А для ответа на последний вопрос необходимо было рассмотреть конкретные примеры. ( слайд не переключать)

Равномерные вращения абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, вокруг вертикали представляют один из наиболее хорошо изученных и важных классов стационарных движений. Оси, вокруг которых возможны равномерные вращения, образуют в теле конус Штауде. Откладывая вдоль каждой образующей величину угловой скорости, с которой происходит вокруг этой образующей равномерное вращение, получаем направляющую линию. Если центр масс тела находится на главной оси, то одна из ветвей направляющей линии совпадает с ней, и, следовательно, тело может вращаться вокруг этой оси с любой угловой скоростью. ( след.слайд)

Исследуем устойчивость таких движений относительно проекции угловой скорости и единичного вектора направления силы тяжести на подвижные оси.

С целью применения к исследованию устойчивости данных стационарных движений теорем об устойчивости стационарных движений гамильтоновых систем опишем движение тела уравнениями Гамильтона, принимая за обобщенные координаты углы Эйлера, вводимые обычным путем. ( след.слайд)

Для того чтобы на изучаемом движении гамильтониан не имел особенностей, центр масс помещаем на первую главную ось. Направляя оси связанной с телом системы координат по главным осям эллипсоида инерции, получаем выражение для гамильтониана

Здесь - компоненты тензора инерции относительно неподвижной точки, Г- произведение веса тела т проекции вектора центра масс на первую ось; - углы Эйлера ( отсчитывается от идущей вниз вертикали); ,,- соответствующие обобщенные импульсы. ( след.слайд)

Уравнения движения имеют вид

( след.слайд)

Изучаемым стационарным движениям соответствует следующее решение системы уравнений :

где - величина угловой скорости равномерного вращения твёрдого тела. ( след.слайд)

Представим функцию Гамильтона в виде

с точностью до членов пятого порядка, относительно канонических переменных

где ( след.слайд)

Характеристическое уравнение линеаризованной системы с функцией Н₂ имеет вид

где ( след.слайд)

Необходимые условия устойчивости приведены в таблице, в которой

Таким образом, если параметры связаны неравенствами, указанными в таблице, характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней, и поскольку система гамильтонова, задача об устойчивости не решается рассмотрением конечного числа членов в разложениях правых частей уравнений движений с функцией Гамильтона

( след.слайд)

В.В. Румянцев, используя метод Четаева построения функции Ляпунова в виде связки интегралов уравнений возмущенного движения, указал достаточные условия устойчивости изучаемых равномерных вращений, которые оказываются эквивалентными условиями знакоопределенности Н₂, в следствие чего остается открытый вопрос о поведении решения

в следующих случаях:

; ;

а также в областях С_4, С₅ в которых выполнены необходимые условия устойчивости, но функция Н₂ является знакопеременной. ( след.слайд)

При достаточно малых значениях ( а их можно cделать достаточно малыми за счёт начальных возмущений) в шаре имеем

причем , где ( след.слайд)

_{Из вышеприведённого неравенства следует, что при достаточно малых} конец вектора угловой скорости находится в замкнутой ограниченной области, принадлежащей шару и содержит точку С