Вариацией называется колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности.

Тема:

Анализ вариации

План

1. Понятие вариации. Показатели вариации

2. Виды (показатели) дисперсий и правило их сложения

Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

Необходимость измерения вариации

• Средняя величина характеризует совокупность по изучаемому признаку, такой характеристики совокупности будет достаточно, если разброс индивидуальных значений невелик
• Когда ряд характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений, то применение средней величины ограничено

Необходимость измерения вариации

• При значительном рассеивании индивидуальных значений необходимо рассчитать специальную систему показателей, характеризующих средний размер отклонений индивидуальных значений от средней величины и степень колеблемости признака в совокупности, т.е. показателей вариации

Показатели вариации

• Используются две группы показателей вариации:

- абсолютные: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение

- относительные: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент и коэффициент вариации

1. Размах вариации

• РВ – разность между экстремальными значениями признака в совокупности. РВ имеет единицу измерения, совпадающую с единицей измерения признака у единиц совокупности

Размах вариации

Недостаток РВ: он учитывает только крайние значения и не учитывает промежуточные значения

2.Среднее линейное отклонение

Недостаток РВ устраняет показатель СЛО. Он рассчитывается по двум формулам:

а) для несгруппированных данных (по формуле средней арифметической простой)

б ) для сгруппированных данных (по формуле средней арифметической взвешенной)

Среднее линейное отклонение

а) для несгруппированных данных

б ) для сгруппированных данных

Среднее линейное отклонение

У СЛО есть единица измерения.

Он обладает серьезным недостатком : в числителе нет минуса, а сам показатель – положительное число. Эта проблема решается третьим и четвертым показателями вариации – дисперсией и среднеквадратическим отклонением

3. Дисперсия -

Это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней величины. Она рассчитывается по простой и взвешенной формулам. Для ее обозначения используется греческая буква сигма.

Дисперсия

а) для несгруппированных данных

б ) для сгруппированных данных

Расчет дисперсии

для вариационного ряда

Осуществляется при помощи

взвешенной формулы:

Выработка ,

Ч исло рабочих, f

x` 2 · f

(x – x) 2 · f

35 9

Свойства дисперсии

1.Если из всех вариант вычесть какую-либо константу, то дисперсия от этого не изменится:

2.Если все варианты разделить на константу А, то дисперсия уменьшится от этого в А² раз:

3. Дисперсия равна разности среднего квадрата вариант и квадрата их средней:

4. Если рассчитать среднее квадратическое отклонение от любой константы А, отличной от средней арифметической, то оно всегда будет больше дисперсии на квадрат разности между средней и данной константой А:

, где

Расчет дисперсии упрощенным способом

Расчет дисперсии упрощенным способом осуществляется на основе перечисленных свойств по формуле:

, где

Выработка ,

Ч исло рабочих, f

x` 2 · f

(x – x) 2 · f

35 9

Недостаток дисперсии состоит в том, что она имеет размерность вариант, возведенную в квадрат (сомов в квадрате, человек в квадрате)

Чтобы устранить этот недостаток, используется среднее квадратическое отклонение

4.Среднее квадратическое отклонение

а) для несгруппированных данных

б) для сгруппированных данных

σ представляет собой среднее квадратическое отклонение вариант ряда от средней величины

Среднее квадратическое отклонение

имеет единицы измерения , а также может принимать положительные и отрицательные значения, поскольку получается в результате извлечения квадратного корня.

С помощью СКО можно утверждать, что i - тое значение признака в совокупности находится в пределах:

Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации применяются для решения следующих задач:

- сравнение степени вариации различных вариационных рядов

- характеристика степени однородности совокупности

Коэффициент осцилляции

где

R - размах вариации

- среднее значение

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака относительно среднего значения

Линейный коэффициент вариации

где

- среднее линейное отклонение

Коэффициент вариации

Характеризует долю усредненного значения отклонений от средней величины. При этом совокупность считается однородной, если V не превышает 33%

Правило трех сигм

В условиях нормального распределения существует зависимость между величиной σ и количеством наблюдений:

в пределах

располагается 68,3 % наблюдений;

в пределах

располагается 94,5 % наблюдений;

в пределах

располагается 99,7 % наблюдений.

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3σ . Отклонение в 3σ может считаться максимальным

При помощи этого правила можно получить примерную оценку σ:

Дисперсия альтернативного признака

Признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие, называются альтернативными . Количественно вариация альтернативного признака проявляется в значении 0 у единиц, которые им не обладают, или в значении 1 у единиц, которые им обладают

x

f

0

q

1

p

где q - доля единиц, не обладающих признаком

p - доля единиц, обладающих признаком

p + q = 1

Среднее значение альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака :

Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25

Правило сложения дисперсий

Выделяют дисперсии:

1) общую

2) межгрупповую

3) внутригрупповую

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под воздействием всех факторов, вызывающих эту вариацию:

где j – номер варианты

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних или факторная дисперсия) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием одного фактора, положенного в основание группировки

где

– среднее значение изучаемого признака для i – й группы

– общая средняя для всей совокупности

- номер группы

– количество единиц в i – й группе

Внутригрупповая (средняя из групповых или остаточная) дисперсия характеризует случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана действием других неучтённых факторов, и не зависящую от фактора, положенного в основании группировки:

- групповая дисперсия

где

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:

Эмпирический коэффициент детерминации:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака (факторного)

Эмпирическое корреляционное отношение :

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень влияния группировочного признака на результативный показатель. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе η к единице, тем степень влияния больше

0 ≤ η ≤ 1

Моменты распределения

Обобщающие характеристики вариационного ряда могут быть представлены системой величин, носящих название моментов распределения

Формула момента k -го порядка:

где:

x – варианты

k – показатель степени

f – частоты

А – const

1. При А = 0 получаем систему начальных моментов. Начальный момент k -го порядка выражается формулой:

Начальный момент первого порядка равен

2. При А =

получаем систему центральных моментов.

Центральный момент k -го порядка выражается формулой:

Центральный момент первого порядка равен 0

Центральный момент второго порядка равен σ²

При А =

получаем систему условных моментов:

где:

– некоторый вариант ряда, обычно близкий к его середине

Нормированный момент представляет собой отношение центрального момента k -го порядка к k -ой степени среднего квадратического отклонения:

Нормированный момент

- первого порядка равен 0

- второго порядка равен 1

- третьего и четвертого порядков используется для характеристики асимметрии и эксцессов

Показатели асимметрии и эксцесса

Симметричным называется такое распределение, при котором варианты, равноотстоящие от средней, имеют равные частоты. Если распределение асимметрично, частоты вариантов, равноотстоящих от средней, не равны между собой

1 имеет место правосторонняя асимметрия Если А " width="640"

Для характеристики асимметрии используется нормированный момент третьего порядка:

Если А = 0 распределение симметрично

Если А 1 имеет место правосторонняя асимметрия

Если А

Под эксцессом понимается степень островершинности распределения, при этом в качестве эталона берется нормальное распределение. Характеристикой эксцесса является нормированный момент четвертого порядка

Формула коэффициента эксцесса:

0, для более плосковершинных Е " width="640"

Для нормального распределения Е = 0. Для более островершинных распределений, чем нормальное, Е 0,

для более плосковершинных Е

Выработка,

метры

до 200

Число

рабочих

3

200-220

х

220-240

12

_

х-х

190

240-260

50

_

( x - x )² f

210

-64

56

230

-44

260-280

х ΄f

12249,63

23126,52

47

250

x΄ ² f

280-300

-24

-9

28560,5

300-320

27

-3,9

-24

23

270

свыше 320

7

851,76

-50

48

16,1

290

ИТОГО:

2

50

0

12182,87

36,1

310

0

47

56,1

29973,83

330

76,1

22080,47

47

46

92

11582,42

21

8

63

140558

32

39

359