Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников

Практическое занятие

Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников.

1. Теоретический этап (Приложение)

1. Подготовительный этап

Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: SABC – правильная пирамида, h = SO = 4 см, l = SD = 8 см

Найти: S_бок

Решение:  Т.к. пирамида правильная, то S_бок = Р_осн ∙ l

P_осн = 3а, а = 2 ∙ r, r = OD.

Из прямоугольного SOD по теореме Пифагора:

r = OD = = = = 4 (см)

Тогда по свойству равностороннего треугольника  a = 2 ∙ 4 = 24 (см). 

Теперь, зная размер основания найдем периметр основания: P_осн = 3 ∙ 24 = … (см)

Откуда площадь боковой поверхности пирамиды  S_бок = ∙ 72 ∙ 8 = … (см² ) 

Ответ: 288 см².

Пример 2. Дано: правильная усеченная пирамида, n = 4, h = 3, = 16 , = 8 . Найти: S_полн

Решение: S_полн = S_1осн + S_2осн + S_бок

Т.к пирамида правильная, то основания – квадраты.

S_1осн = = … , S_2осн = 8² = …

S_бок = l (P₁ + P₂ ), P₁ = 4 ∙ 16 = … , P₂ = 4 ∙ 8 = …,

= = = … , = = = …,

l² = h² + ( - )², l² = 3² + (4 8)² = 9 + 16 = …, l = ….

S_бок = ∙ 5 ∙ (64 + 32) = 5 ∙ 48 = …, S_полн = 256 + 64 + 240 = …

Ответ: 560

Пример 3. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12 см². Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ прямоугольный параллелепипед, S_ABCD = 12 см² , АА₁ = 4 см

Найти: V

Решение: V = a b h

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник.

S_ABCD = a b = 12 см² , тогда АА₁= h = 4 см, т.к. АА₁ ⊥ АВСD

Используем формулу V = 12 4 = ... (см³)

Ответ: 48 см³.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда (рис. к Примеру 3), выходящие из одной вершины, равны 2 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ прямоугольный параллелепипед, a = 4 см, b = 2 см, d = 6 см

Найти: V

Решение:

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d² = a² + b² + h², 36 = 16 + 4 + h², h² = … , h = ... (см), V = 4 2 4 = ... (см³ )

Ответ: 32 см³.

Пример 5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 см и 4 см (рис. к Примеру 3). Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ прямоугольный параллелепипед, a = 3 см, b = 4 см, h = BD

Найти: V

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда.

Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора: BD² = АВ² + АD²,
BD² = 3² + 4² = 9 + 16 = …, BD = … см, h = 5 см. V = 3 4 5 = … (см³).
Ответ: 60 см³.

1. Практический этап

1. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

2. Дано: правильная усеченная пирамида, n = 4, h = 8, = 16 , = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

3. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15 см². Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6 см. Найдите объем параллелепипеда.

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 13 см. Найдите объем параллелепипеда.

5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 см и 8 см. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

1. Дополнительные задания^*

1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a = 12 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

3. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5; 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.