Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

ББК 22.21

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ И КООРДИНАТ ЦЕНЬРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

А.С. Тирский, старший преподаватель кафедры

«Естетственных и технических наук»,

К.В. Майоров, студент группы Мех 09

Олёкминский филиал
ФГБОУ ВПО Якутская ГСХА»,, г. Олёкминск

Как известно, математика все больше и больше внедряет свои методы в технические науки. Целью такого внедрения является оптимизация решения данной задачи. Кроме того, зачастую решить задачу можно только математически. Рассмотрим одну из таких задач механики «Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской материальной фигуры»

Пусть дана материальная плоская фигура(пластинка), ограниченная кривой и прямыми . Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна . Тогда масса всей пластинки равна , т.е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта тоска С отстоит от оси Ох на , а от оси Оу на х (приближенно). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения:

и , следовательно, получим

и .

По аналогии с получением координат центра тяжести С плоской кривой, получаем координаты центра тяжести плоской фигуры(пластинки)

и . Отсюда и , или

Рассмотрим пример: Найдем координаты центра тяжести полукруга

Решение: Очевидно, ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу, . Площадь полукруга равна . Находим :

.

Таким образом, получаем:

. Итак, центр тяжести имеет координаты: .

Литература:

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов – М. Высшая школа, 2001.- 345с.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов – М: Высшая школа, 1998.- 380с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч.1,Ч.2.:Учебн. пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.- 280с.