Взаимное расположение сферы и плоскости.

Класс: 11

Предмет: геометрия

Тема урока: Взаимное расположение сферы и плоскости.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний.

Цели урока:

1. изучить виды взаимного расположения сферы и плоскости;

2. формировать навыки решения задач.

Задачи урока:

• познакомить с видами взаимного расположения сферы и плоскости;

• воспитывать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; умение

объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль,

• развивать пространственное мышление обучающихся, умение анализировать материал, делать выводы, умение применять полученные знания в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности

Планируемые результаты:

Ученик должен

знать возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости,

уметь решать простейшие задачи

УМК: Учебник: Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М. : Просвещение, 2014..

Ход урока.

1. Организационный момент.

• Приветствие

• Создание доброжелательной атмосферы

• Проверка готовности учащихся к уроку, психологического настроя учеников

• Фиксирование отсутствующих

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

Давайте с вами вспомним случаи взаимного расположения прямой и плоскости. Изобразите их в тетради.

У доски модели чертят учащиеся по одному с каждого ряда.

А есть ли аналогия построенным моделям на плоскости для пространства?

Учащиеся выдвигают свои версии, в результате обсуждения приходят к выводу, что это шар или сфера и плоскость. Посмотрите на рис.1.

Каково расположение сферы и плоскости относительно друг друга на каждом чертеже?

Сформулируйте тему урока.

Какие цели урока вы перед собой можете поставить?

Знания о сфере пришли из астрономии. 

Омар Хайям писал:

От земной глубины до далёких планет
Мирозданья загадкам нашёл я ответ.
От зенита Сатурна до чрева Земли
Тайны мира своё толкованье нашли.

1. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

1. Решение задач

№ 576 а, в

№ 577 а, в

№ 578

Ответ: а) О ( 0; - 1; 2); R = 3;

б) при т = 2

1. Индивидуальное задание по карточкам для группы учащихся:

1)Возможно ли составить уравнение сферы? Если возможно, то составьте:

1) О (2;-3;4;), MN=16; 2) OM=7; 3) М (1;-2;0), О(3;4;-5); 4) О(0;0;0), R=8.

1. Изучение нового материала

Вернемся к нашим трем чертежам. Введем систему координат так, как показано на рисунках. Плоскость Оху совпадает с плоскостью α , а центр С сферы лежит на положительной полуоси Оz. В этой системе координат т. С имеет координаты (0;0; d), поэтому уравнение сферы будет иметь вид x² +y² +(z-d)² = R² . Плоскость α совпадает с плоскостью Оху и поэтому ее уравнение имеет вид z=0 (попытайтесь ответить, почему z=0?).

Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы сводится к исследованию системы уравнений

Вы видите на экране три вида взаимного расположения сферы и плоскости, значит, нам нужно сделать три вывода о том, как это расположение сферы и плоскости зависит от разности значений R и d. Давайте разобьемся на 3 группы. Каждая группа поработает со своим рисунком и выбранный представитель от группы поделится со всеми своими выводами.

Каждой группе задание - исследовать зависимость взаимного расположения сферы и плоскости от разности значений R и d.

Класс разбивается на три группы-«мозговой штурм».

Каждая группа получает инструкцию по работе над исследованием.

Инструкция для 1 группы:

1. Если точка М с координатами (х; у; z) находится и на сфере и на плоскости, то какой делаем вывод?

2. Подставить первое уравнение системы во второе.

3. Рассмотреть разность R²–d², когда d

4. Если не получается см. стр.131 учебника

Инструкция для 2 группы:

1. Если точка М с координатами (х; у; z) находится и на сфере и на плоскости, то какой делаем вывод?

2. Подставить первое уравнение системы во второе.

3. Рассмотреть разность R²–d², когда d=R. Сделать вывод, соответствующий данному случаю.

4. Если не получается см. стр.131 учебника.

Инструкция для 3 группы:

1. Если точка М с координатами (х; у; z) не находится и на сфере и на плоскости одновременно, то какой делаем вывод?

2. Подставить первое уравнение во второе.

3. Рассмотреть разность R²–d², когда dR. Сделать вывод, соответствующий данному случаю.

4. Если не получается см. стр.131 учебника.

Представители от группы вызываются к доске для отчета по работе группы.

На экран высвечиваются критерии оценивания выступающего:

Критерии для оценивания выступления от группы:

1. Время

2. Правильность

3. Доступность изложения

4. Логика изложения

5. Речь

6. Эмоциональность

Во время отчета выступающего все остальные учащиеся оформляют записи в тетради.

1. Закрепление нового материала

1. Решение №580 в тетрадях и у доски.

Решение:

1)d_сеч. = ?r²

2) В ? АОК  АКО =90^о, т.к. КО = d

АК = =40 (дм)

3) S_сеч. =  r² = 40²  = 1600   (дм²)

Ответ: 1600   дм²

1. Решение задачи № 586 (а) группой более подготовленных учащихся.

Решение:

ОН = d = 60см=6дм.

Рассмотрим уравнение х² +у² = R² – d², где d = R = 6 дм.

ОН   (АВС).

Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку – они касаются.

3) Самостоятельное выполнение задачи № 584 группой остальных учащихся.

Один учащийся от каждой группы работает у доски. Учащиеся выполняют самопроверку.

1. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Мы рассмотрели три возможных случая взаимного расположения сферы и плоскости. Каковы они?

Вами было проведено исследование взаимного расположения сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Каковы результаты этого исследования?

Выставление оценок учителем.

1. Домашнее задание

П.66, №№ 581,586 (б), №587