Ыктымалдыктар теориясы 7-10-класстар үчүн колдонмо

КЫРГЫЗ РЕСПУБЛИКАСЫНЫН БИЛИМ БЕРҮҮ ЖАНА ИЛИМ

МИНИСТИРЛИГИ

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИ

МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА ЫКТЫМАЛДЫКТАР ТЕОРИЯСЫН ОКУТУУНУ УЮШТУРУУ

550200 - физика- математикалык билим берүүнүн “ математика”

профили боюнча “ МАГИСТР” илимий даражасын коргоо

ДИССЕРТАЦИЯСЫ

Магистрант:

Мукарамова Алтынай

Илимий жетекчи ф. –м.и.к., профессордун м.а. Мамаюсупов М.Ш.

Ош шаары 2020 – жыл

Магистердик диссертация Ош мамлекеттик университетинин

МИОТ жана ББМ кафедрасында аткарылды

Магистердик диссертация

ТЕМАСЫ: МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА ЫКТЫМАЛДЫКТАР

ТЕОРИЯСЫН ОКУТУУНУ УЮШТУРУУ

«физика математикалык билим берүү» багыты

Магистрант _____________ Мукарамова Алтынай

Илимий жетекчи ____________ ф.-м.и.к., профессор

Мамаюсупов М.Ш.

Киришүү

Математика илими өзүнүн үйрөнүүчү обьектилерине карата алгебра, анализ, геометрия сыяктуу айрым теорияларга ажырайт. Ал математикалык теориялардын арасында ыктымалдыктар теориясы негизги орунду ээлейт. Себеби ал жаратылышта, практикада, турмушта бат-бат учурап туруучу, кокусунан болуучу кубулуштарды, окуяларды, чоңдуктарды жана алардын закон ченемдүүлүктөрүн үйрөтүү менен бирге аларды турмушта, өндүрүштө пайдалана билүүнүн жолдорун көрсөтөт.

Адамдар илгери мезгилден бери эле өз турмушунда түрдүүчө окуяларга дуушар болгон. Ошол окуялардын келип чыгышын божомолдоо жана анын натыйжалары кишилердин турмушунда чоң практикалык мааниге ээ болгон. Мисалы, аба-ырайынын жыл мезгилинде өзгөрүп турушу, себилген эгиндин түшүмдүүлүгү, өрттүн чыгышы ж.у.с окуялардын келип чыгышы түрдүү шарттарга көз каранды болгон окуялар же чоңдуктар болушат.

Жаратылышта болуп жаткан чыныгы кубулуштар баш ийген закон ченемдүүлүктөрдү аныктоо, аларды изилдөө жана адам баласына кызмат кылууга баш ийдирүү ар кандай илимдин негизги максаты болуп эсептелет. Табылган закон ченемдүүлүктөр теориялык жактан гана баалуулукка ээ болбостон, күндөлүк турмушубузда да кенири колдонулат.

Изилденүүчү теманын актууалдуулугу: Акыркы илимий-техникалык прогресс учурунда ар бир инженерге, өндүрүштүн жетекчилерине, илимий кызматкерлерге ыктымалдыктар теориясын билүү зарыл болуп калды. Себеби, техникада, эканомикада ж.у.с тармактарда кокустук элементтер катышпаган кубулуштар жок. Жалпы билим берүүчү мектептердин негизги максаттарынын бири окуучуларга күндөлүк турмушта, өндүрүштө керек болгон математикалык билимдерди аң-сезимдүү кабыл алуусун камсыз кылуу болуп саналат. Биздин, Кыргызстандын мектептеринде, министрлик тарабынан 1997-жылы бекитилген орто мектептердин математика курсунун программасына статистика жана ыктымалдыктар теориясынын элементтери 7-10-класстардын математика курсуна кийирилген. Биздин мектептер үчүн бул материалдар жаңы. Аларды окутуунун усулдары али кеңири иштелип чыгарыла элек. Ошол себептүү “Мектеп математикасында ыктымалдыктар теориясын окутууну уюштуруу” темасын тандап алдым.

Изилдөөнүн максаты:

Орто мектептин математика курсунда ыктымалдыктар теориясынын элементтерин окутууну уюштуруу, теориялык жактан негиздөө жана айрым практикалык сунуштарды иштеп чыгуу.

Изилдөөнүн милдеттери: Илим менен техниканын өнүгүүсү, жетишкендиктери бүткүл дүйнөлүк глобалдашуу процесси адамдын ой жүгүртүүсүн, тарбиясын, ишмердүүлүгүн анын жүрүм-турумун олуттуу өзгөртүүгө алып келди. Глобалдашуу билим берүү чөйрөсүнө да сүңгүп кирүүдө. Ал билим берүүнүн глобалдуу максатын аныктоого мүмкүндүк түзүүдө. Ага жараша коомдун инсанга болгон талабы дагы өзгөрдү. Азыркы коомго активдүү, креативдүү, коммуникативдүү, ар дайым өнүгүүгө жана өзгөрүүгө даяр болгон инсан керек.

Билим берүү системасында илим жана техниканын тез өзгөрүүсүнө туруштук бере ала турган, мобилдүү, коомдо болгон өзгөрүүлөргө шайкеш келе тургандай, коомдогу өзгөрүүлөргө тез адаптациялана турган инсандарды даярдоо жана тарбиялоо, билим сапатын жогорулатуу азыркы учурдун курч көйгөйлөрүнүн бири болуп саналат.

Изилдөөнүн объектиси: Баткен областынын, Баткен районун, “Газ” орто мектебин 7-10 класстарында математика сабагында ыктымалдыктар теориясын элементтерин окутуу процесси.

Изилдөөнүн илимий жаңылыгы: Ыктымалдыктар теориясын окутууну уюштуруу процессин окуу китебине кошумча электрондук маалымат каражаттарынан, окуучулар күбө болгон айылдагы окуялардан, турмуштук мисалдардан колдонуп, окутуунун бирдиктүү аракеттерин бүтүн системасы катары кароо менен аны ишке ашырууга комплекстүү мамиле жасоонун, окуучулардын билим сапатына оӊ таасирин тийгизерин илимий-усулдук тажрыйба аркылуу негиздөө.

Илимий-методикалык жактан сунуш кылынган теориялык жоболор жана практикалык сунуштардын натыйжалуулугун педагогикалык экспериментте текшерилүүсү жана илимий-усулдук жактан тастыкталышы.

Изилдөөнүн апробациясы: “Мектеп математикасында ыктымалдыктар теориясын окутууну уюштуруу” магистрдик диссертациясын мазмуну Баткен району “Газ” орто мектебинде жүргүзүлүп, диссертациялык изилдөө натыйжалары: 1. Кырыгз – Россия Славян Университетинин алкагындагы илимий – практикалык конференцияда талкууга алынып, илимий – усулдук “Инновации в архитектуре, дизайне и строительстве стран Центральной Азии” журналына 2019-жылы. 2. “Комбинаториканын формулалары” темасын окутууга карата усулдук сунуштар БатМУнун “Известия ВУЗов Кыргызстана” 11 саны, 2019-жылы.

Эки макалада жарык көргөн.

.

Изилдөөчүнүн жекече салымы: Магистрдик изилдөөдөгү теориялык, методикалык жана практикалык проблемалар толугу менен изденүүчү тарабынан жекече иштелди. Практикалык сунуштарды берүүдө илимий-методикалык эмгектерге таянуу менен изденүүчүнүн жеке тажрыйбасы да пайдаланылды.

Диссертациянын түзүлүшү жана көлөмү : Диссертация киришүүдөн, эки главадан, жалпы корутундудан, пайдаланылган адабияттардан жана тиркемелерден турат. Диссертациянын көлөмү 86 бет, 2 сүрөт, 6 таблицаны 3 чиймени камтыйт.

Ыктымалдуулук теориясына киришүү

Мектеп математикасында ыктымалдыктар теориясын окутууну уюштурууда «Ыктымалдыктар теориясына киришүү” – деген тема 7 – класстын “Математика” сабагында окутулуп, ага 2 саат бөлүнгөн (теорияга 1 саат, көнүгүүлөргө 1 саат). Өтүлүүчү тема окутуу китебинде кеңири баяндалып, көнүгүүлөр менен бышыкталганына карабастан, мен өзүм иштеген (Баткен областы, Баткен району) “Газ” орто мектептин класстарында аталган теманы эки башка ыкмалар менен окутуу тажрыйбасын жүргүзүп көрдүм. Тажрыйбада класста (28 окуучу) окуу китеби боюнча (автору Н Ибраева, А Касымов) ал эми класста (30 окуучу) эркин тандалган кошумча материалдар аркылуу окутуулар жүргүзүлүп, окуучулардын өздөштүрүү сапаттарын салыштырып көрдүм.

Төмөндө -класста жүргүзгөн тажрыйбада “Ыктымалдыктар теориясына киришүү” темасын кантип окутулганы жөнүндө сөз кылып, ой бөлүшкүм келди:

§1. Ыктымалдыктар теориясынын пайда болушу

Ыктымалдыктар теориясы ΧVII кылымдын орто ченинде Европалык математиктердин ишмердүүлүгүнүн негизинде пайда болгон.

Кумар оюндарынын теориясын түзүүгө арналган жана андан ары өнүккөн. Анын баштапкы түзүүчүлөрү:

Блез Паскаль Пьер Ферма Христиан Гюйгенс

§ 2. Окуялар жана алардын түрлөрү

Белгилүү шарттардын көптүгү ишке ашканда сөзсүз аткарыла турган окуялар.

Ишенимдүү окуянын ыктымалдуулугу 100% же 1 бүтүндү түзөт.

Ишенимдүү окуя

Ишке ашыруу – сыноо жүргүзүү

Мүмкүн эмес окуя

Сыноо жүргүзгөндө аткарылбай калган окуялар.

Мүмкүн эмес окуялардын ыктымалдуулугу 0 го барабар

Сыноо жургүзгөндө аткарылары анык эмес

аткарылат же аткарылбайт.

Ыктымалдуулугу 0

Кокустук окуя

ЫКТЫМАЛДУУЛУК ТЕОРИЯСЫ ДЕГЕН ЭМНЕ?

Ытымалдуулук теориясы - бир кокус окуянын ыктымалдуулугу боюнча кандайдыр бир түрдө аны менен байланышкан башка кокус окуянын ыктымалдыгын табууга мүмкүндүк түзүүчү математикалык илим.

“ ыктымалдык” латындын “probabilitas” сөзүнүн 𝑝− тамгасы менен белгилөө кабыл алынган.

Аныктама: А окуясын аткарылуу ыктымалдыгы деп, А окуясын окуянын аткарылуусуна шарт түзгөн жагымдуу же көмөкчү жагдай – кырдаалдардын 𝒎 санын, А окуясын аткарылуусуна түзүлгөн жалпы жагдай – кырдаалдардын саны 𝒏 ге болгон катышы менен ченеп, аны математикалык тилде:

𝑃 ( 𝐴 )= = ( 𝒏 ≠ 𝟎 )

көрүнүштө белгилеп жазабыз.

Мисалы: Той алып баруучу тамада конокторго 160 лотерея таратып, анын 40 даанасына утуштарды жазган. Лотерея алган адамдын утушка ээ болуу окуясын ыктымалдыгын тапкыла. Ошондой эле канча лотереяга утуштар жазылганда, В – ишенимдүү окуя же ишенимсиз жалган окуя болоруна ой жүгүртүп көргүлө.

Чыгаруу: “Лотерея алган адамдын утушка ээ болуу” окуясын В дейли, анда В окуясын аткарылуусуна жалпы түзүлгөн жагдай – кырдаалдардын саны 𝑛 =160, ал эми бул окуянын аткарылуусуна өбөлгө түзгөн жагымдуу жагдайлардын саны 𝑚 =40 болот. Андай болсо, (1) формуласы боюнча В окуясын аткарылуу ыктымалдыгы 𝑝 = 𝑃 (В)= = =0,25 саны менен ченөөгө болот.

Мисалдагы ой жүгүртүүгө берилген тапшырманы талкуулап, окуучулар 160 лотереянын баарына утуш коюлса гана жалпы жагдайлардын саны менен көмөкчү жагдайлардын саны барабар 𝑛 = 𝑚 болуп, ар бир лотереядан утуш чыгып, В ишенимдүү окуя же аткарылуу ыктымалдыгы 𝑝 = 𝑃 (В)= = =1 саны менен ченелет деген тыянактарын айтышты. Ал эми бир да лотереяга утуш коюлбаса, анда В окуясын аткарылуусуна көмөктөшүүчү жагадай – кырдаалдар жок же 𝑚 =0 болуп, В аткарылбоочу же ишенимсиз жалган окуя катарында ыктымалдыгы 𝑝 = 𝑃 (В)= = =1 саны менен ченелет деген жоопторду беришти.

Мисалы: Баштыкчага 60 даана смартфондордун 10 даанасы ак, 30 даанасы кара, 20 даанасы кызыл түстө аралаш салынган. Сатуучу баштыкчадан карабай туруп 1 смартфон алып кардарга саткан. Сатылган 1 смартфондун ак түстө, кара түстө, кызыл түстө болуу окуяларын ыктымалдыктарын эсептеп, кандай түстөгү телефондун сатылуу окуясын ыктымалдыгы аз жана көп болорун аныктагыла.

Чыгаруу. Айталы, сатылган 1 смартфондун: А – “ак түстө”, В – “кара түстө”, С – “кызыл түстө” болуу окуялары болушсун. Окуялардын аткарылуусу үчүн түзүлгөн жалпы жагдай шарттар деп баштыкчадагы бардык телефондордун санын алабыз 𝑛 =60. Смартфондун ак түстө болуусуна көмөктөшүүчү жагдайлардын саны =10, кара түстө болуусуна көмөктөшүүчү жагдайлардын саны =30, кызыл түстө болуусуна көмөктөшүүчү жагдайлардын саны =20 болот. Андай болсо сатылган 1 смартфондун ак түстө болуу ыктымалдыгы = 𝑃 (A)= = = , кара түстө болуу ыктымалдыгы = 𝑃 (B)= = = , кызыл түстө болуу ыктымалдыгы = 𝑃 (C)= = = сандары менен ченелишет. Бул чен сандарды салыштырып =≤ =≤ = , алардын 0 гө жакыныраак эң кичинеси =болгондуктан, сатылган смартфондун ак түстө болуу окуясын ыктымалдыгы баарынан төмөн же ишеним азыраак, ал эми 1 ге жакыныраак эң чоңу = болгондуктан, сатылган смартфондун кара түстө болуу окуясын ыктымалдыгы же мүмкүнчүлүгү баарынан жогору же салыштырмалуу ишеним көбүрөөк окуя экендигин түшүндүрөбүз .

Комбинаториканын формулалары

Комбинаторика сөзү латындын “combinare” сөзүнөн алынып, кыргызча “айкалыштыра бириктирүү” деген маанини түшүндүрөт. Комбинаторикада изилденүүчү маселе-мисалдар, көптүктөрдө аткарылуучу амалдарга негизделген эрежелер боюнча чечилип, көбүнчө көптүктөрдү кошуу, көбөйтүү жана көптүктүн өзүндө жүргүзүлгөн амалдар менен байланышкан болот. Ошентип, турмуштук жана практикалык маселелер көптүк жана анын элементтери менен моделдештирилип, окуялардын өзгөрүү ырааттары комбинаторикалык эреже-формулалар менен эсептелет. Мында көптүктөрдүн элементтеринин саны менен жайгашуу иреттеринин өзгөрүүлөрү практикалык маселелердин чыгарылыштарын туюндургандыктан, көптүктүн кубаты деген түшүнүк киргизебиз.

Аныктама - 1. А көптүгүнүн элементтерин санын анын кубаты деп айтып, 𝜇 (А) − символу менен белгилейбиз.

Мисалы, А = {4, 5, 7, а, е, 85} − көптүгүнүн кубаты 𝜇 (А) = 6,

анткени анын элементтерин саны 6.

1 – мисал: Мектеп ашканасында түштөнүү үчүн 5 түрдүү биринчи тамак, 4 түрдүү экинчи тамак сунушталат. Окуучулар канча түрдүү ыкма менен биринчи жана экинчи тамактардан бирден тандап жей алат ?

Чыгаруу: Биринчи тамактар

Б = {шорпо, борщ, мастава, лагман} = {ш, б, м, л, п}, ал эми экинчи тамактар Э = {палоо, куурдак, жумуртка, самса} = {п, к, ж, с} көптүктөрү болушуп, ушундай тартипте тизилип турушсун дейли. Б жана Э көптүктөрүн элементтеринен кайталанбай турган абалда жупташтыруу процессин таблица аркылуу көрсөтөбүз.

Б

п

Э

ш

к

б

(п,ш)

м

ж

(п,б)

(к,ш)

(п,м)

л

с

(к,б)

(ж,ш)

(п,л)

(к,м)

(ж,б)

п

(с,ш)

(к,л)

(с,б)

(п,п)

(ж,м)

(ж,л)

(к,п)

(с,м)

(с,л)

(ж,п)

(с,п)

Таблицадагы жупташтыруу 5 элементтүү Б көптүгү менен 4 элементтүү Э көптүгүнүн түз же декарттык көбөйтүү амалы деп аталып, алардын түз көбөйтүндүсү болгон Б × Э көптүгүндө 20 элемент болорун көрсөтөт:

𝜇 (Б) = 5 ∧ 𝜇 (Э) = 4 ⇒ 𝜇 (Б × Э) = 4 ∙ 5 = 20. Мындан биринчи жана экинчи тамактардан кайталанбай турган тартипте, 20 түрдүү ыкмалар менен экөөсүнөн бирден гана тандап жесе болот деген жоопко келебиз.

Мектеп программасында каралган 2 сааттык окутууну аяктап, 7А,7Б− класстарда тажрыйбада өтүлгөн тема боюнча өздөштүрүү сапатын аныктоо максатында, эки класска бирдей 7 суроолорду камтыган сурама түзүп, окуучулардын туура жоопторуна карап, өздөштүрүү таблицасын түздүм:

Окуучулар, жооптор,

Суроолор өздөштүрүү

7 а 28

а) Окуяларды алдын ала боложолдоого болобу? Ыктымалдыктар теориясы деген эмне?

б) Окуялардын аткарылуусуна жалпы жана көмөкчү жагдай – шарттарды кандай түшүнөсүңөр?

Жыйынтыгы

28

Туура жооп

өздөш %

в) Окуялардын аткарылуу мүмкүнчүлүктөрүн кандай сандар менен туюнтууга болобу?

8

28

г) 𝒑 = 𝑷 ( 𝑨 )= 𝒎𝒏 жазуусу эмнени түшүндүрөт?

28,56

7 б 30

49,45

Туура жооп

д) Эмне үчүн 0≤ 𝑝 ≤1 болот?

30

21

27

74,97

өздөш %

е) Ишенимдүү жана жалган окуялар деген эмне?

28

28

30

16

ж) Жеке турмушта ыктымалдыктарды колдонсо болобу?

89,1

28

11

28

57,12

89,24

39,27

28

30

92,4

6

29

21,42

28

30

23

25

82,11

10

30

95,7

30

82,5

24

35,7

30

79,2

30

100

26

85,8

Өздөштүрүү таблицасынан көрүнгөндөй тажрыйба жүргүзүлгөн класстын окуучулары өтүлгөн темага кызыгуу менен мамиле жасашып, ыктымалдыктар теориясын турмуштарында пайдасы тийерине ишеним артышканын байкайбыз. Менин байкоомо караганда жаңы теманы окутуудан мурда, окуучуларга ушул теманын турмуштук зарылчылыгын түшүндүрүү, сабактын максатына жетишине чоң рол ойнойт. Ошондуктан менин илимий – усулдук изилдөөмдө:

А) интернеттен “Википедия” аркылуу ыктымалдыктар теориясын пайда болуу тарыхынан алган маалыматтардан улам, бай жана бактылуу турмушка жетүү жолдорун болжолдоп билүүгө ынтызар болушканы;

Б) окуялар менен кубулуштардын болуп өтүүсүнө алдын ала түзүлгөн жалпы жана көмөкчү (жагымдуу) шарттардын сандарын катышы боюнча анализ жүргүзүү менен, алардын аткарылуу мүмкүнчүлүктөрүн дурус бөлчөк сандар аркылуу ченеп салыштыруунун ыңгайлуулугун сезишкени;

В) окуялар менен кубулуштарга ыктымалдыктарына жараша мамиле жасоо адатын пайда болушу;

Г) сабакта каралган мисалдар боюнча турмуштук окуяларды аткарылуу ыктымалдыктарына баа берип, керектүүсүн тандоого машыгуусу;

Д) окуялар менен кубулуштардын аткарылуу мүмкүнчүлүктөрүн чени болгон 𝑝 санын 0≤ 𝑝 ≤1 аралыгында өзгөрөрүн жаттабастан, бөлчөктүн 0 жана 1 ге барабар болуу касиетинен чыгара билүүсү сыяктуу түшүнүктөрдү окуучуларга жаттатпай, табигый ыкма менен калыптандырууга багытталган усулдук изденүүм, жүргүзүлгөн тажрыйбанын артыкчылыгын (39,79% ке) көрсөттү деп ойлоймун.

Педагогикалык жана усулдук жалпы корутундулар жана сунуштар

Мен бул диссертациялык ишти жазууда негизинен мектеп курсунда өтүлүүчү ыктымалдыктар теориясынын элементтерине токтолдум. Бул ишти эки главага бөлүп карадым. Ар бир главалар өз-өзүнчө параграфтарга бөлүндү. Биринчи главада ыктымалдыктар теориясынын мектеп курсундагы орду жана мааниси, аныктоосу, окуялар жана алардын түрлөрү, касиеттери жөнүндө сөз болду. Ал эми экинчи глава негизинен жалпы билим берүүчү мектептерде ыктымалдыктар теориясын окутууну уюштурууга багытталган. Бул ишти жазууда мен теориялык жактан гана изденбестен, практикалык түрдө да текшерүү жүргүзүп, «Ыктымалдыктар теориясына киришүү” – деген темада 7-класстарга сабак өтүү менен бирге эксперимент жасап көрдүм.

Айрым мектептерге барып тажрыйбалуу предметтик мугалимдер менен ой бөлүшкөнүбүздө белгилүү болгондой алар окуу китептериндеги мисал-маселелердин, дидактикалык материалдын аздыгынан абдан кыйналышат экен. Ошол себептүү, бул проблеманы чечүү иретинде орто

мектепте методикалык колдонмолорду чыгарууга жетишерлүү көңүл бурулушу зарыл деп ойлойм жана бул диссертацияда иште аталган проблеманын айрым аспектилерин чечүүгө аракет жасадым.

Теориялык жана практикалык билимдерди айкалыштырып төмөндөгүдөй жыйынтыкка келдим:

Бүгүнкү мектеп окуучулары эртеңки ар түрдүү кесип ээлери. Ар бир орто билимдүү адам математикалык, анын ичинде ыктымалдыктар теориясы жана коммбинаторика боюнча билимдерге ээ болуп алар боюнча тиешелүү ой жүгүртүүлөрдү ишке ашыруу менен практикада, турмушта колдоно билиши керек.

Негизги мектепте комбинаториканы окутуунун негизги максаты комбинатордук ой жүгүртүүнү калыптандыруу болуп саналат

Жогоруда көрсөтүлгөн жумуштардын аткарылышы:

· окуучулардын предметке болгон кызыгуусун арттырат жана кесипке багыттайт;

· математикалык түшүнүгүн кеңейтип, ой-жүгүртүүсүн, логикасын өстүрөт;

· ыктымалдыктар теориясынын турмуштагы ээлеген ордун көрсөтөт.

Бул жетишкендиктердин орун алышы үчүн мугалим сабакта окутууну уюштурууда туура аныкташы максатка ылайыктуу. Ал эми ар бир сабак үчүн универсалдуу уюштуруу көрсөтүлбөгөндүктөн чыгармачылык менен иштеген мугалим сабактын методун максатына жараша тандап, аны колдонуп кете алат деген ойду билдиргим келет.

Ошондуктан предметтин программасын жетекчиликке алып, окутуунун максаттарын туура аныктап, алдыңкы мугалимдердин иш-тажрыйбаларынан пайдаланып, окутуунун методдорун ылайыктуу тандап уюштурган сабак сөзсүз жогорку натыйжага жетет деп айта аламын.

Колдонулган адабияттар:

  1. Алтыбаева М.А, Назаров М.Н., Бөтөков Р.Э., Назаров М.М. Орто мектептин математикасыны окутуунун методикасы. - Ош, 2004

2. Баврин И.И. Высшая математика. - М.: Академия. - 2000. 2. Гмурман В.Е. руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие для вузов. М: Высш школа - 2009.

3. Байзаков А., Саадабаев А., Ыбыкеева Ж.Алгебра: Жалпы билим берүүчү орто мектептин 8-классы үчүн окуу китеби.- Бишкек, 2009. - 208 б.

4. Дорофеев Г.В. Математика 6 класс. – Москва: «Дрофа», 2000

5. Дорофеев Г.В. Математика 8 класс - Москва: «Дрофа», 2000

6. Каримов С. Ыктымалдыктар теориясынын башталышы боюнча окуу методикалык колдонмо. - Фрунзе, 1987.

7. Касымов А., Ибраева Н. Алгебра 7-класс. –Бишкек, 2009.

8. Мамаюсупов М.Ш., Байсалов Дж. У. Математика курсу. – Ош: «Bookдизайн», 2018. - 220 б.

9. Н. Ибраева, А Касымов Ыктымалдуулуктар теориясына киришуу Математика – 7 окуу китеби. - Алгебра 2009. 168 б.

10. Раев К.Т., Кожомбердиева М.Н., Раев М.Т., Раев А.К. Ыктымалдуулуктар теориясынын негиздери. I-бөлүк. - Ош, 2005

11.Саламатов, Ж., Жураев М., Аманкулов Т. Алгебра жана анализдин башталышы: Жалпы билим берүүчү орто мектептердин 10-классы үчүн окуу китеби. - Бишкек:Педагогика, 2012. - 176 б.

12. Шакирова М.Ш., Абдугулова Г.С, Акбаева К.А., Назаров М.Н. Математика 5-11 орто мектептин окуу китептерине кошумча материалдар. - Ош, 2001

13. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в обучении математике. -М.: Просвешение, 1990.

Көңүл бурганыңыздар үчүн чоң рахмат.