Задача № 17 из профильного егэ по математике

Задача № 17 из профильного егэ.

Выплата долга в соответствии с таблицей

Алгоритм решения задачи подобного типа выглядит следующим образом: Делаем выборку величин выплат по таблице условия. Определяем величину долга после начисления процентов. Определяем сумму выплат за весь период или выплаты конкретного периода. Решаем уравнения или неравенства по условию задачи. Разберем задачи подобного типа.

1. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Решение:

1) Условия выплаты долга по годам до полного погашения:

S 0,8S 0,4S 0

2) Если , тогда долг ежегодный будет:

1,2* S 1,2*0,8S 1,2*0,4S

3) Тогда выплаты будут составлять

1,2* S - 0,8S = 0,4S 1,2*0,8S - 0,4S = 0,56S 1,2*0,4S = 0,48S

Каждая выплата по условию задачи не превосходит 5 млн, значит получаем

Решением неравенства будет целое число 8.

Ответ: Кредит нужно взять в сумме 8 млн рублей.

2. 15-го  января  планируется  взять  кредит  в  банке  на  шесть  месяцев  в размере  1  млн  рублей. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого  месяца  долг  увеличивается  на  r процентов  по  сравнению  с концом предыдущего месяца, где r – целое число; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого  месяца  долг  должен  составлять  некоторую  сумму  в соответствии  со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

1) Условия выплаты долга:

1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

2) Если , тогда долг каждый месяц будет составлять:

k 0,6k 0,4k 0,3k 0,2k 0,1k

3) Выплаты долга по месяцам будут:

k – 0,6 0,6k – 0,4 0,4k – 0,3 0,3k – 0,2 0,2k – 0,1 0,1k

4) Сумма всех выплат будет:

k + 0,6k + 0,4k + 0,3k + 0,2k + 0,1k - 0,6 - 0,4 - 0,3 - 0,2 - 0,1 = k(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) – (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) = 2,6k - 1,6. Общая сумма выплат по условию должна быть меньше 1,2 млн рублей. Тогда получим 2,6k – 1,6 Решаем неравенство

Ответ: Наибольшее целое число удовлетворяющее неравенству есть число 7. Значит r = 7%.

Выплата долга равными платежами

1. В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r%;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Найдите r.

Решение:

Пусть S величина кредита, - ежемесячны проценты на кредит, x – платеж за три года равными платежами, y - платеж за два года равными платежами. Тогда погашение долга в случае трех лет будет выглядеть так:

S kS – x k²S –kx – x k³S – k²x – kx – x = 0

Если за два года:

S kS – y k²S –ky – y =0

Получаем систему уравнений и решаем её

Найдем значение , .

Решим квадратное уравнение:

Выбираем положительное значение корня.

Ответ: 20.

Дифференцируемый платеж

1. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, - часть долга выплачиваемая каждый раз при погашении, кредит и проценты на кредит.

Долг на 15 –е число каждого месяца:

S S - S - 2 S - 3 S - 4 ……….. S – (n-2) S – (n-1) S - n =0

Долг на 1 –е число каждого месяца:

kS k(S - ) k(S - 2) k(S - 3 ) k(S - 4)…… k(S – (n-2) ) k(S – (n-1) )

Процедура похожая на погашение долга по условию в таблице

Выполним этот процесс для данной задачи и получим сумму выплат за все время при n = 21.

=. Решим уравнение:

Подставим данные из условия

Ответ: В кредит планируется взять 1100 тыс рублей.

Задачи на кредиты и вклады различные

1. Инна Николаевна получила кредит в банке под определенный процент годовых. В конце первого и второго года в счет погашения кредита она возвращала в банк1/9 от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени. В конце третьего года в счет полного погашения кредита Инна Николаевна внесла в банк сумму, которая на 12,5% превышала величину полученного кредита. Какой процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Пусть S сумма всего кредита, Sk=S(1+0,01r) долг после начисления процентов по кредиту. После выплаты за первый год долг будет Sk – 1/9 Sk = 8/9Sk. После начисления процентов долг составит 8/9Sk². После выплаты за второй год долг будет 8/9Sk² – 8/81Sk² = 64/81Sk². После начисления процентов долг составит 64/81Sk³ и он составит (1+0,125)S. Получаем уравнение 64/81Sk³ = (1+0,125)S  k³=1,125*81/64  k³ = 3,375*27/64  k=1,5*3/4 = 1,125. 1+0,01r = 1,125, r = 12,5.

Ответ: 12,5%

2. Ангелина Денисовна Курбанова открыла вклад в банке на 1 млн рублей сроком на 3 года. В конце каждого года на сумму лежащую в банке начисляется 20%. В конце каждого из первых 2-х лет (после начисления процентов) Ангелина Денисовна снимает одинаковую сумму. Эта сумма должна быть такой, чтобы через 3 года после начисления процентов на 3-й год у нее на счету было не менее 1,1 млн рублей. Какую максимальную сумму она может снимать? Ответ округлите до целой тысячи рублей в меньшую сторону.

Решение: Первоначальная величина вклада S = 1 млн рублей, после начисления процентов за первый год величина вклада будет , где r = 20. После первого года снимается сумма X, остаток будет . После начисления процентов сумма станет , а после нового снятия . Тогда за третий год сумма станет и с нее уже ничего не снимается, и она должна быть не меньше 1,1 млн рублей. Решаем неравенство

Ответ в тысячах рублей 237000.

Задачи взяты из сайтов: https://ege.sdamgia.ru, https://yandex.ru/search/?text=math100.ru