Просмотр содержимого документа
«Задачи № 26 из огэ по математике»
Несколько задач №26 из ОГЭ по математике
1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 12 ,SQ = 9.
Решение:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_1.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_2.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_3.png)
Q
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_5.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_6.png)
P
S
M
N
Из условия угол PNQ = углу QNM, а угол PNQ = углу PMQ как вписанные и опирающиеся на одну дугу, а ∆PQM равнобедренный и PQ = QM = 12. У ∆SQM и ∆NQM NQM общий, QNM = PMQ, значит ∆SQM
∆NQM по дум углам, а значит сходственные стороны этих треугольников пропорциональны: ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_9.png)
Ответ: SN =7.
2. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
![]()
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_11.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_12.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_13.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_14.png)
Решение: B K C
O
R S
А ll D
T L M
Окружность вписана в трапецию, значит из точек A,B,C,D к окружности проведены касательные, которые касаются к окружности в точках RKSL. По свойству касательных отрезки BK = BR, CK = CS, DL = DS, AR = AL. Трапеция равнобедренная, а значит AB = CD AR + BR = CS + SD BC + AD = AB + CD BC + AD = 120: 2 = 60. Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований на высоту. KL = h – высота. Значит (BC + AD)/2 = 540 30h = 540 h = 18. Проведем из точки С перпендикуляр к AD. Длина СM = KL = 18, CD = 30. Треугольник CMD прямоугольный. Найдем в треугольнике катет MD по теореме Пифагора.
Треугольник ATB = MCD, значит AT = MD. AD + BC = 2AT + BC + BC = 60 BC = 6. Тогда AD = 56 В трапеции треугольники BOC и AOD подобны по углам BOC и AOD - вертикальные, углы OCB и OAD накрестлежащие. Сходственные элементы треугольников пропорциональны.
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_17.png)
Ответ: OK = 1,8
3. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K , длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_18.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_19.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_20.png)
B
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/05/04/s_5ccdb07fdbdc6/1151695_22.png)
K P
A M C
Решение: Отрезок AP биссектриса угла A как треугольника ABC так и треугольника ABM. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Значит AB : BC = PC : PB = 9 : 7. BM – медиана, значит AM = MC = 0,5AC = AM : AB = MK : KB. Пусть площадь треугольника AKM = S, такая же площадь и у треугольника MKC, так как медиана делит треугольник на два равновеликих(одинаковой площади) треугольника. Одинаковые площади по той же причине будут у ABM и MBC. Треугольники AKM и AKB имеют одну высоту, значит SAKM : SAKB = KM : KB; SCKP : SABP = PC : PB.
.
,
Ответ: ![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAQAAAA2CAYAAADgQzjYAAAACXBIWXMAAA+gAAAOuwEIni3aAAAANUlEQVR4nGNhYGD4DwSMDFDAwoAGaCMAshII4FbTydoBFED28aByGLUEYB4caHfQT4BmUQkAo34Z0Ffafy8AAAAASUVORK5CYII=)
4. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен
. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. B
P
C A
Решение:
Пусть CP = h, тогда ![](data:image/png;base64,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)
, где
,
, Получим Значит BP =
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADwAAAAYCAIAAAApowkFAAADLklEQVR4nOWXTUhiURTHtbSgbFEQFQZtMgj7wiTIRbRoKRIVLvqAcGMQLcKN4GaS3LRwEbopSGaTKWQgFFSLKEIxgtKIKMgQF1G0KKUIKuuPd+b10NfzzXhriPkvHpfreef+3rnnnnOVvL6+ir6bJP8a4G9EAbqgoIAZp1Kp/B3mFJ1Ifw0ro/81PSCZTFZcXOxyuXQ6HRWH/KIAfXV1VV5eHggEhoeHvxp6YWFhenr68vKyvb19d3e3t7fX7/djvqKiAj/x0BiNRq/XW1hYyK6eTU1N0Wi0srJyampqdHT05uamvr7+9vY2JxBjGQ6HBwYG4HNlZaW5uZkDGnx2u319fb2oqGhiYgIzVqs1FosdHBwcHh729PTA10fLnJ+fl5aWyuVyp9PJTJaVlWHhk5OT7u5uQG9tbSUSiZzEEGNpsVhsNtv9/T0GJHyZ0LOzszMzMwqFgnwAnvjQtra2l5eXeDyuUql4loFl9mQwGMSzpqamqqrq9PQUnySEmG25t7eHDXx+fjabzWSmq6trZ2fnHfr4+Lizs5P9fiQS+ZkWVl1dXSWTgEAGk7FSqTw6OuKHmJ+fRyzW1tYmJyczfuJ0xba8u7srKSlBMWWSihC/QyeTSWwx2ynit7Gxgc3d3t7u7++/uLjAJDKen5Kt5eXlhoYGHAZ0H5PJJEq3Iaaic7oypUUscR6QG4g0TnmG2S9oZMLi4qJerx8fH9dqtaBEpFtaWnAOyJs84RGLxRlO8Zbb7a6rq9NoNKLfrYdN/JErtiUwsMNYvaOjgxva4XCMjIyMjY21trb+SOv6+rq6uho1AYk+NzfHEx7OK9fQ0BAz5uyXOTcNpayvrw8f4PP5yAyCiFCK2JFmJyjhfnp6kkgk2YEUomxQ4a2eWAIJRZOZDIVCDw8PZMzXXKRSqZA1Ghsb4b22ttbj8ajVaoFkfyrk7dLSEhlT6IjARS1HRTcYDGT7PkP7+/vMmAL05uYmTipODK4f+XsTIjoXJvRRnNqMvvV5ogP9+PiIcj44OHh2dkbFIb8oQKO6o8Yj2ELuQ1REARoXBnRTpAcuMPl7EyIK0JwXpk/Vt/y79QY5aJWvsGq86AAAAABJRU5ErkJggg==)
Значит ![](data:image/png;base64,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)
,
,
, ![](data:image/png;base64,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)
Ответ: ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABgAAAALCAIAAADqV9qaAAABDUlEQVR4nGP5//8/AzUAC0mqX7586e/vf+LEiYsXL4aEhAAdsX79el1dXdIMevv2bVlZ2alTp4Ds6urq1tbWr1+/AhmbNm2CGuTi4iItLS0iIrJixYqnT5/iMkhYWHjhwoWLFy8GsoHGrVq16s+fPxUVFQivAR05a9asvr4+JSUliKikpCTQFxC2trb25cuX0Qz9+PEjFxfXv3//Pnz4gDDo6tWrmZmZDmAAEX3+/Dl+bwoICAD9BXSRoKAgikERERHI6gi6yNTUdOvWrUCzzMzMUAzS0NBAVofVRffu3fPw8AAy1NTUgOGQl5fHxMS0bt06hEFwy/EDYAjeunULzvXx8UGWJS0d4QFUMwgAD1p7ewyjqFAAAAAASUVORK5CYII=)