Задание № 12 из вариантов ЕГЭ с решением

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение.

Вычислим производную, получим:

.

Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение

откуда имеем

Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона

данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ;

 - точка максимума.

Ответ: 14.

Задание 12. Найдите точку минимума функции .

Решение.

Найдем значение производной

В точках экстремума функции производная равна нулю, получаем уравнение

Имеем две точки экстремума. Точка минимума будет та, в которой производная меняет свой знак с минуса на плюс. Анализируя поведение производной (вычисляем ее значение в точках справа и слева от точек экстремума), получаем точку минимума .

Ответ: -2.

Задание 12. Найдите точку минимума функции .

Решение.

Точки экстремума функции можно найти из уравнения

,

где

,

получаем уравнение

В точке минимума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Анализ уравнения производной  показывает, что точка минимума будет соответствовать .

Ответ: 2.

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [63; 65].

Решение.

Преобразуем выражение к виду

и вычислим производную, получим

.

Точки экстремума функции располагаются в значениях, где производная равна нулю, т.е.

Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно рассчитать функцию в точке экстремума и в граничных точках интервала, получим:

имеют бесконечное число знаков после запятой, такие значения не являются решением ЕГЭ,

.

Ответ: 523.

Задание 12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение.

Вычислим производную от функции, получим

Так как в точках экстремума функции производная равна нулю, имеем уравнение

Таким образом, наименьшее значение функции находится на границах интервала:

не выражается конечной десятичной дробью, а, значит, не является решением ЕГЭ,

.

Ответ: 14.

Задание 12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [-2; 0].

Решение.

Для нахождения наименьшего значения функции на интервале, необходимо вычислить значение функции в точках экстремума, находящихся в этом интервале и в граничных точках интервала.

Точки экстремума функции соответствуют нулевому значению производной

откуда получаем уравнение

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

Находим значения функции в точках -2; -1; 0, имеем:

Наименьшее значение равно 4.

Ответ: 4.

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение.

Для нахождения наибольшего значения функции рассчитаем ее значение в точках экстремума (которые принадлежат указанному диапазону) и на границах диапазона.

Вычислим производную для нахождения точек экстремума функции

Приравняем производную нулю, получим уравнение

Для  имеем . Для  имеем .

Находим значения функции в точке экстремума и на границах диапазона:

не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби, а значит не является ответом в ЕГЭ,

.

Ответ: 7.

Задание 12. Найдите точку минимума функции .

Решение.

Точка минимума функции находится в одной из точек экстремума функции. Для нахождения точек экстремума найдем точки, в которых производная функции равна нулю, получим

Отсюда получаем уравнение для точек экстремума

В точке минимума производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Анализ поведения производной показывает, что точка минимума соответствует значению .

Ответ: -10.

Задание 12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [0; 13].

Решение.

Найдем наименьшее значение функции. Вычислим производную от функции, получим:

В точках экстремума производная равна нулю, имеем:

Найдем наименьшее значение функции, вычисляя ее значение в точках экстремума и на границах интервала, получим:

очевидно, не выражается в виде конечной десятичной дроби, а значит, не является ответом в ЕГЭ,

значит, минимальное значение функции равно 3.

Ответ: 3.

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение.

Для нахождения наибольшего значения функции, необходимо вычислить ее значения в точках экстремума и на границах интервала. Найдем точки экстремума, вычислим производную функции, получим

и приравняем производную нулю

Вычислим функцию в точке экстремума и на границах интервала:

данное значение не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби, а значит, не является ответом в ЕГЭ,

.

Ответ: 5.