Задание 14. Вариант 17. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 14.  Вариант 17. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, А1 и D1.

б) Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Решение.

а) Сечением куба будет плоскость, проходящая через точки  , т.к.   и, следовательно, точка   принадлежит искомой плоскости.

б) Углом между двумя плоскостями   и   будет двугранный угол, измеряемый линейным углом   между двумя отрезками   и   (данные отрезки получаются, если к   провести перпендикулярные векторы в плоскостях   и  ; точка   - середина  ,   - точка пересечения диагоналей прямоугольника).

Пусть ребра куба равны 1. Тогда длина отрезка  . Длина отрезка  , где   и, соответственно,  . Длина отрезка  . Наконец, длина

.

Теперь есть все длины треугольника  , из которого по теореме косинусов находим косинус угла   между плоскостями:

и угол равен

.