Задание 16. Вариант 1 из 50 вариантов ЕГЭ Ященко

Задание 16. Вариант 1 из 30 вариантов ЕГЭ Ященко

Задание 16. Точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что углы POA = PAO.

б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6, углы BAC = 75°, ABC = 60°.

Решение.

а) Поскольку точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи АО и ВО являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол РОА является внешним углом треугольника АОВ. Следовательно,

Углы РАС и РВС равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому

Таким образом,  .

б) Пусть R = 6 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Поскольку  , треугольник АРО равнобедренный, следовательно,

.

Таким образом, площадь треугольника АРО равна

Ответ: 9√2.