Задание № 16. Дифференцированные платежи. Задачи на определение суммы выплат банку

Задание № 17. Дифференцированные платежи. Задачи на определение суммы выплат банку

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные.   Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита а разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на по сравнению с долгом на начало года.

Заметим,  

I. что каждая выплата состоит из двух частей: первая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (месяц), вторая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг.

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна a). А далее он еще вносит часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.  

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

При вычислении суммы “набежавших” процентов после вынесения за скобку общего множителя в скобках получается сумма чисел, составляющих арифметическую прогрессию, которую находим по формуле

Задача 1.

Александр взял в банке кредит на 50000 рублей на 3 месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, что сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке 10%?

Решение:

Пусть а = 50 тыс. руб – сумма кредита

р = 10% – процентная ставка

n = 3 месяца – период кредитования

Пусть S – переплата (сумма начисленных процентов).

(тыс. руб)

Ответ: 10000 руб.

Задача 2.

Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под 6% годовых, второй – на 6 лет под 14% годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

I банк II банк

р = 6% – процентная ставка р = 14%

n = 15 лет – период кредитования n = 6 лет

I банк

Пусть S – переплата (сумма начисленных процентов).

II банк

Выгоднее обратиться в I банк, выгода составляет 10% от кредита.

Ответ: в I банк, 10%.

Задача 3.

15 января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = 3 % – процентная ставка

n = 31 месяц – период кредитования

По условию 16-я выплата составляет 29,6 тыс. рублей:

(тыс. руб) – сумма кредита.

Найдем сумму начисленных процентов:

Тогда общая сумма выплат:

620 + 297,6 = 917,6 (тыс. руб)

Ответ: 917, 6 тыс. рублей.

Задача 4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = 2 % – процентная ставка

n = 24 месяца – период кредитования

Найдем сумму выплат за первые 12 месяцев, т.е. в течение первого года:

Итак, сумма кредита составляет 3,6 млн. рублей.

Найдем сумму выплат за последние 12 месяцев:

Ответ: 2034000 рублей.

Задача 5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн. рублей?

Решение:

Пусть а = 9 млн. руб – сумма кредита

р = 20 % – процентная ставка

n – период кредитования

Первый платеж наибольший годовой платеж, по условию он составляет 3,6 млн. рублей.

Значит, кредит взят на 5 лет. Найдем общую сумму выплат:

Ответ: 14,4 млн. рублей.

Задача 6.

15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн. рублей?

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = 2 % – процентная ставка

n = 16 месяцев – период кредитования

Все выплаты составляют:

По условию общая сумма выплат после полного погашения составляет 2,34 млн. рублей, то есть:

Значит, сумма, взятая в кредит, равна 2 млн. рублей.

Ответ: 2 млн. рублей

Задания для самостоятельного решения:

1. 16 августа на покупку телефона стоимостью 60000 рублей в банке был взят кредит на три месяца. Условия пользования кредитом таковы:

10-го числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга 10%;

с 11-го по 15-е число каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;

суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину.

Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?

Ответ: 12 тыс. рублей.

2. (№ 509583) Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн. рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Ответ: 822 тыс. рублей.

3. (№ 526293)  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн. рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся).

Ответ: 7,8 млн. руб.

4. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?

Ответ: 717000 рублей.

5. (№ 520212) 

15 января планируется взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83 млн. рублей?

Ответ: 1,5 млн. рублей.