Задание 18. ЕГЭ 2010

Задание 18. ЕГЭ 2010

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение

имеет более трёх различных решений.

Решение.

Решение представлено Григорием Пожидаевым

Заметим, что слагаемое  , следовательно, начальное выражение можно переписать в виде:

Пусть  , тогда имеем:

.

Введем функцию  , тогда последнее выражение можно записать как

.

Можно заметить, что производная функции  , значит, функция f(z) монотонно возрастает при любых z. Отсюда следует, что равенство

можно заменить эквивалентным равенством

.

Теперь сделаем обратную замену, получим:

    (1)

и пусть  . В результате получаем следующую систему:

Решим данную систему в координатах  . Построим график функции   на промежутке  . Исходное уравнение (1) будет иметь более трех решений, если данная система имеет два решения, так как  .

Из рисунка видно, что система имеет два решения при  .

Ответ:  .