Задание 18. Вариант 12 ЕГЭ- 2018 из 36 вариантов

Задание 18. Вариант 12 ЕГЭ- 2018 из 36 вариантов. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

на промежутке   имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции   и  . Исследуем уравнение   на промежутке  .

При   все значения функции f(x) на промежутке   отрицательны, а все значения функции g(x) — неотрицательны, поэтому при   уравнение   не имеет решений на промежутке  .

При   функция f(x) возрастает. Функция g(x) бывает на промежутке  , поэтому уравнение   имеет не более одного решения на промежутке  , причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда  , откуда получаем  , то есть  .

На промежутке   уравнение   принимает вид  . Это уравнение сводится к уравнению  . Будем считать, что  , поскольку случай   был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  , поэтому при   это уравнение не имеет корней; при   уравнение имеет единственный корень, равный 2; при   уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня   и  , то есть  , то больший корень  , поэтому он принадлежит промежутку  . Меньший корень   принадлежит промежутку   тогда и только тогда, когда

то есть  .

Таким образом, уравнение   имеет следующее количество корней на промежутке  :

- нет корней при  ;

- один корень при   и  ;

- два корня при   и  ;

- три корня при  .

Ответ:  .