Задания для школьного этапа ВСОШ по математике 10 класс

В сероссийская олимпиада школьников 2020-2021

Школьный этап

Математика

10 класс

Задания

Время выполнения – 180 минут

Максимальное количество баллов – 35

1. На доске написано число 543254325432. Некоторые цифры стерли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

1. Решите в целых числах систему уравнений

ху + z = 94,

х + уz = 95.

1. Найдите сумму: 100²–99²+98²–97²+...+2²–1².

1. Постройте эскиз графика функции: .

1. Найти площадь выпуклого четырехугольника ABCD, у которого AC=2, BD=1, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ:

1. На доске написано число 543254325432. Некоторые цифры стерли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

Ответ: 5435432532

Решение: из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две цифры – либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят большие цифры. Поэтому нужно стереть первую двойку и последнюю четверку.

1. Решите в целых числах систему уравнений

ху + z = 94,

х + уz = 95.

Ответ: х = 95, у = 0, z = 94 или х = 31, у = 2, z = 32.

Решение:

вычтя из второго уравнения первое, получим (х - z)(1 - у) = 1.

По условию, х, у, z целые, тогда возможны два случая:

х– z = 1, 1 – у = 1, т. е. у = 0.

Подставив значение у в систему, получим: z =94, x=95.

х –z = -1, 1 – у = - 1, т. е. z = х +1, у = 2.

Подставим найденные значения у и z в первое уравнение, получим

2х + х +1 = 94, х = 31. Отсюда z = 32.

1. Найдите сумму:

100²–99²+98²–97²+...+2²–1².

Ответ: 5050

Решение: по формуле разности квадратов

100²–99² = 100+99; 98²–97²=98+97; …

Поэтому 100²–99²+98²–97²+...+2²–1² = 100+99+98+97+96+95+..+2+1=(100+1)*100/2=5050.

Комментарий: возможны и другие способы подсчета.

1. Постройте эскиз графика функции: .

Решение:

1. Найти площадь выпуклого четырехугольника ABCD, у которого AC=2, BD=1, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

Ответ: 1

Решение: EF – средняя линия треугольника ABC , значит EF AC. HG- средняя линия треугольника ADC, значит HG AC, но тогда EF HG. Аналогично доказываем, что EH FG. Следовательно, EFGH- параллелограмм. Но по условию EG=HF, значит, EFGH – прямоугольник, то есть HG FG, а тогда BD AC. Получилось, что диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, следовательно, .

Критерии оценивания: