Задания с параметрами в учебнике 10 класса (авторы учебника: Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.)

Задания с параметрами в учебнике 10 класса (авторы учебника: Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.)

Десятиклассники завершают изучение традиционных тем алгебры, что дает возможность решать всевозможные уравнения и неравенства, в том числе и по темам, которые изучались в основной школе, и готовит почву для изучения начал математического анализа в 11 классе.

В учебнике 10 класса встречаются следующие задания с параметрами:

Уравнения:

– линейные уравнения (№ 1322, № 1323);

– квадратные уравнения (№ 1396, № 1397)

– логарифмические уравнения (№ 353);

– тригонометрические уравнения (№ 646, 647, 687, 688, 689, 1605).

Системы уравнений:

– система логарифмических уравнений (№ 1569);

– система уравнений, одно из которых тригонометрическое (№ 1570, № 1609).

Неравенства:

• дробно-рациональные неравенства (№ 1611);

• неравенства с модулем (№ 1579);

• иррациональные неравенства (№ 191)

• логарифмические неравенства (№ 406, № 1616).

Многие из приведенных номеров могут использоваться для систематического повторения курса алгебры, поэтому приведены в разделах «Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа», «Задачи для внеклассной работы». Некоторые задания доступны для решения учащимися основной школы и могут быть предложены способным учащимся 8-9 классов.

У

№ 1322. При каком значении а, уравнение а(х – 3) + 8 = 13 (х + 2) имеет корень, равный 0?

?

Решение

Корень уравнения обращает его в верное равенство. Подставим х = 0 в уравнение, получим:

а (–3) + 8 = 13^.2,

–3а = 18,

а = –6.

Ответ: –6.

Задание для самостоятельного решения

№ 1323. При каком значении b уравнение 1 – b (x + 4) = 2 (x – 8) имеет корень, равный 1?

О

№ 1396. При каком наименьшем целом значении m уравнение (m – 1) x² – 2 (m + 1) x + m – 3 = 0 имеет два различных действительных корня?

?

Решение

При m = 1 уравнение является линейным и не может иметь два корня. Рассмотрим случай m  1. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант уравнения положительный.

.

Наименьшее целое число, большее числа и не равное 1 – это 2.

Ответ: 2.

Задания для самостоятельного решения

№ 1397. При каких целых значениях m уравнение (m – 7)x² + 2(m – 7)x + 3 = 0 не имеет действительных корней?

Ответ: 8, 9.

№ 353. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет корни.

?

Решение

ОДЗ: х 0, a 0, a  1.

Выражение имеет смысл при

Ответ: а 0, a  1, .

№ 646. Найти все значения а, при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.

?

Решение

_{Имеем: 4t2 – 2(a – 3)t – 3a = 0;}

_{D1 = (a – 3)2 + 12a = a2 – 6a + 9 + 12a = (a + 3)2  0 для любых значений а.}

_{1) . Уравнение имеет корни, только если , .}

_{2) . Уравнение не имеет корней.}

_{Ответ: при а a 2 корней нет,}

_{при корни .}

_{№ 647.} Найти все значения а, при которых уравнение не имеет корней.

?

_{Решение}

_{Воспользуемся формулами понижения степени, получим:}

_{Введем вспомогательный угол, разделив обе части на .}

_.

_{Уравнение не имеет корней, если}

_{Ответ: или .}

№ 688. Найти все значения а, при которых уравнение имеет корни.

?

Решение

Воспользуемся формулой (а + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵:

Пусть , 0  t  1.

5t² + 10t + 1 – 16a = 0;

Уравнение имеет корни, если 20 + 80а  0, то есть а  –0,25. Тогда

Учитывая ограничения на t, получим:

Из первого неравенства , что удовлетворяет условию а  –0,25. Второе неравенство решений не имеет.

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

№ 687. При каких значениях а уравнение имеет корни? Найдите эти корни.

Ответ:

№ 1605. Найти все значения а, при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.

О

№ 689. Найти все значения а, при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.

?

Решение

Воспользовавшись формулами приведения и двойного угла, учитывая четность функции y = cos x, получим:

.

Преобразуем выражение и подставим в уравнение. Получим:

Разделив обе части уравнения на 2 и заменив , получим:

уравнение имеет корни.

.

1) Если то есть , то

.

2) Если , то есть , то

.

Таким образом, если или , то

,

если , то

и .

Если а a 1, уравнение решений не имеет.

Ответ: при и

при ,

Системы уравнений

№ 1569 (1). Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметра а она имеет решение:

?

Решение

ОДЗ: х 0, y 0, x  1, y  1.

Решим первое уравнение системы:

Получаем две системы уравнений.

Решим второе уравнение системы:

, при этом a 0, –a – 1 0.

Воспользуемся результатом решения предыдущего уравнения:

Получим совокупность:

Учитывая условия х 0, y 0, x  1, y  1, получим ряд ограничений:

1. a 0;

2. a  1;

3. –a – 1 0, a ;

4. –a – 1  1, a  –2.

Итак, если a 0 и a  1, решениями являются пары и .

Если a a  –2, решениями являются пары и . В остальных случаях решений нет.

Ответ: при a 0, a  1 ,

при a a  –2 ,

Задания для самостоятельного решения

№ 1569 (2) Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметров а и b она имеет решение:

О

?

№ 1570. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

имеет хотя бы одно решение?

Решение

Представим второе уравнение системы в виде

Все слагаемые неотрицательны, значит,

(верно).

Проверим, является ли решение второго уравнения (0; 1) при а = 3 решением системы, подставив значения в первое уравнение системы:

9 – 6 – 1 – 2 = 0 (верно).

Проверим, является ли пара (0; 1) решением второго уравнения при

Уравнение решений не имеет.

Итак, при а = 3 система имеет решение, при а3 решений нет.

Ответ: при а = 3 решение (0; 1);

_при а  3 решений нет.

№ 1609. При каких значениях а система уравнений

имеет хотя бы одно решение?

?

Решение

Область допустимых значений: y 3, x 0.

Решим первое уравнение системы:

.

Решим второе уравнение системы:

По условию система должна иметь хотя бы одно решение, поэтому рассмотрим два случая:

1) .

.

Тогда

Убеждаемся, что , значит, система имеет решение

2) .

Проверим, какие значения удовлетворяют области допустимых значений.

1)

Итак,

2)

Итак,

Окончательно получаем .

Ответ: .

Неравенства

№ 1611 (1). Найти все значения а, при которых является верным при всех значениях х неравенство:

?

Решение

Квадратный трехчлен, находящийся в знаменателе дроби, имеет отрицательный дискриминант, положительный первый коэффициент, поэтому знаменатель не обращается в 0 при любых х.

.

В случае если 8 – 4а = 0, то есть а = 2, неравенство 0х² + 0х + 3 – 2  0 решений не имеет.

При а  2 неравенство является верным при всех значениях х, если первый коэффициент отрицательный и дискриминант квадратного трехчлена неположительный, то есть

Уравнение имеет корни

Имеем систему неравенств:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

№ 1611 (2) Найти все значения а, при которых является верным при всех значениях х неравенство

Ответ:

№ 1579. При всех а решить неравенство и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства x² – 4х – 5

?

Решение

Рассмотрим различные случаи в зависимости от знака выражения, стоящего под знаком модуля.

1) Пусть x  5a, x – 5a  4a – 3, x  9a – 3.

a) 9a – 3 = 5a, 4a = 3, , тогда неравенство имеет решение

б) 9a – 3 5a, 4a 3, , тогда 5а  х  9а – 3;

в) 9a – 3 a, , решений нет.

2) Пусть x a, –x + 5a  4a – 3, x  a + 3.

a) 5a a+ 3, 4a 3, , тогда a + 3  x a;

б) 5a  a+ 3, , нет решений.

Итак, если , решений нет, если , то , если , то

а + 3  х  9а – 3.

Рассмотрим неравенство x² – 4х – 5

(х – 5)(х + 1) x

Решения первого неравенства являются решениями второго, если

Ответ: если , решений нет;

если , то ;

если , то а + 3  х  9а – 3.

Решения первого неравенства являются решениями второго, если .

№ 191 (1). При различных значениях а решить неравенство

?

Решение

ОДЗ: х  6.

При х = 6 левая часть неравенства принимает наименьшее значение, то есть

Таким образом, если а  2, то неравенство не имеет решений.

Пусть а 2. Обе части неравенства неотрицательные, возведем их в квадрат.

Учитывая ОДЗ, получим .

Ответ: при а  2 решений нет;

при а 2 .

Задания для самостоятельного решения

№ 191 (2) При различных значениях а решить неравенство

Ответ: при а  0

при а = 0 решений нет.

№ 406. Решить неравенство

?

Решение

ОДЗ:

а  1.

Введем замену . Получим:

Если а 1, то

Если 0 a

Ответ: при а 1 ;

при 0 a .

Задания для самостоятельного решения

№ 1616. Найти все значения а, при которых неравенство выполняется для всех х из промежутка (–; 0).

Ответ: .