Задание 16 ЕГЭ- 2015. Углы.

Задание 16 ЕГЭ-2015.Углы.

Иванова Е.Н.

МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский

1. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AB 1 и BC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 60 o .

2. В кубе A … D 1 найдите косинус уг ла между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

3

3. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =

. Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75 .

5. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2, B 1 E 1 = .

Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен .

6. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о . Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о .

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1 , и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1 . Искомый угол равен углу E 1 BG 1 . Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна . В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна . В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и . Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна . Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 = , BE 1 = , G 1 E 1 = . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о .

Решение 3 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, , 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, , 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о .

7. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 o .

8. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D .

Ответ:

9. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью

AB 1 и ABC 1 .

Ответ: 30 o .

10. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D .

Ответ: 90 o .

11. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью : AA 1 и AB 1 C 1 .

Ответ:

12. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между плоскостями ABC и AB 1 D 1 .

Ответ:

13. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C .

Решение: Обозначим O , O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем

OO 1 = 1; OC =

Следовательно,

14. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 .

Ответ: 60 о .

15. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 .

Ответ: 30 о .

16. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 .

Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о .

Ответ: