Замечательные точки треугольника

Приложения

Задача 1

Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса 25 см. Расстояние от центра окружности до основания равно 7 см.

Найдите площадь треугольника.

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Пользуясь этой теоремой, утверждаем, что точка О - центр окружности лежит на высоте СМ.
Прямая определяющая расстояние от центра окружности до основания совпадет с высотой СМ, т.к. из точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр.

СМ=СО+ОМ=25+7=32
Из прямоугольного треугольника АОМ определим АМ:
АМ²=АО²-ОМ²
АМ²=25²-ОМ²=576
АМ=24
Пользуясь свойством равнобедренного треугольника:
АВ=2АМ=48
S=1/2AB*CM=1/2*48*32
S=768

Задача 2

Дано:

АВС - треугольник,

Вписанная окружность касается прямых ВС, АС и АВ в точках А1,В1 и С1.

Доказать: прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Ясно, что АВ₁=АС₁, ВС₁ =ВА₁, и СА₁ = СВ₁, причем в случае вписанной окружности на

сторонах треугольника АВС лежат три точки, а в случае вневписанной – одна точка.

Воспользовавшись теоремой Чевы, получим что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Задача 3

Дано:

АВС – треугольник,

точки С1 и А1 делят стороны

АВ и ВС в отношении 1:2.

Прямые СС1 и АА1

пересекаются в точке О.

Найти:

отношение, в котором прямая ВО

делит сторону АС.

Решение:

По условию:

Используя теорему Чевы, имеем:

Задача 4

Дано: окружность S касается

окружностей S1 и S2 в точках

А1 и А2.

Доказать: что прямая А1А2

проходит через точку пересечения

общих внутренних или внешних

касательных к окружностям

S1 и S2.

Доказательство.

Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем

а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2.

Задача 5

Дано: Через точки P и Q

Проведены тройки прямых.

Обозначим их точки

пересечения как на рисунке.

а)Доказать: что прямые KL,

AC и MN пересекаются в

одной точке

(или параллельны).

б)Доказать: что если точка О

лежит на прямой BD, то точка

пересечения прямых KL, AC и MN

лежит на прямой PQ.

Доказательство.

а) Пусть R – точка пересечения прямых KL и MN. Применяя теорему Паппа к тройкам точек (P, L, N) и (Q, M, K), получаем, что точки А, С и R лежат на одной

прямой.

б) Применяя теорему Дезарга к треугольникам NDM и LBK, получаем, что точки пересечения прямых ND и LB, DM и BK, NM и LK лежат на одной прямой.

МОУ гимназия им. А. Л. Кекина

Реферат по геометрии на тему:

«Замечательные точки треугольника».

Выполнила: ученица 9 класса «В»

Чертилина Ольга

Учитель: Иванченко И. А.

Ростов 2011

Оглавление

Введение 3

Из истории замечательных точек треугольника 4

Четыре замечательные точки треугольника 5

Центр описанной окружности 5

Центр вписанной окружности 6

Центр тяжести (центроид) 7

Ортоцентр 8

Теоремы о пересечении в одной точке медиан, биссектрис, высот треугольника 9

Теорема о пересечении в одной точке медиан треугольника 9

Теорема о пересечении высот треугольника 10

Теорема о пересечении биссектрис треугольника 12

Теорема Чевы 13

Теорема Менелая 14

Теорема Дезарга 15

Прямая Эйлера 17

Вывод 19

Список литературы 20

Приложения

Введение

Я выбрала данную тему не только потому, что она мне интересна, но ещё и исходя из того, что некоторые теоремы, входящие в мой реферат, не проходят в девятом классе, а мне хотелось бы узнать чуть больше по этой теме.

Цель моего проекта -изучение теорем и понятий по теме « Замечательные точки треугольника»:

1. Четыре замечательных точки треугольника, а именно: центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центроид и ортоцентр.

2. Теоремы Чевы, Менелая, Дезарга

3. Теоремы о пересечении в одной точке медиан, биссектрис и высот треугольника.

4. Прямая Эйлера.

Из истории замечательных точек треугольника

На вышеназванные точки было обращено особое внимание, и начиная с 18 века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников стал Леонард Эйлер. В четвёртой книге «Начал» Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".

Четыре замечательные точки треугольника Центр описанной окружности

Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.

Дано: треугольник АВС, описанная окружность с центром в точке О

DO перпендикулярен стороне АВ,

ОЕ перпендикулярен ВС,

ОF перпендикулярен АС.

АD=DВ,

ВЕ=ЕС,

АF=FС

Доказательство:

Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы).

Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к другим сторонам треугольника.

Теорема доказана.

Центр вписанной окружности

Теорема: Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Дано: треугольник АВС, вписанная окружность с центром в точке О.

АF- биссектриса угла А

СD- биссектриса угла С

ЕВ – биссектриса угла В

Доказательство:

Прямоугольные треугольники

AOD = AОE (по гипотенузе и катету). АО- общая,

а катеты ОD = ОЕ (как радиусы).

Из равенства треугольников следует

OAD= OAD

А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной от вершины А.

Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника.

Теорема доказана.

Центр тяжести (центроид)

Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центром масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет в эту точку. Центр равных масс иногда называют центроидом. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки.

Ортоцентр

Высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром.
В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном - совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном треугольнике - находится вне треугольника на пересечении продолжений высот.

Теоремы о пересечении в одной точке медиан, биссектрис, высот треугольника Теорема о пересечении в одной точке медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

Для начала рассмотрим две медианы АМ и СК. КМ является средней линией по определению.

Поэтому отрезок КМ параллелен АС. Значит, соответственно равны углы АМК и МАС; СКМ и КСА. Поэтому треугольники АОС и КОМ подобны по двум углам. Также мы знаем, что средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна, т.е. КМ=1/2АС или АС=2КМ.

Из подобия вытекают следующие

соотношения:АО:ОМ=СО:ОК=АС:КМ=2КМ:КМ=2:1,

т.е. в точке О эти медианы поделились в данном отношении.

Теперь рассмотрим этот рисунок. Подобными доказательствами придем к следующему:АО₁:О₁М=ВО₁:О₁Р=АВ:РМ=2РМ:РМ=2:1, т.е. в точке О₁ эти медианы поделились в данном отношении. Т.е. и точка О, и точка О₁ делят медиану АМ в одинаковом отношении, а значит они совпадают в одну точку - точку пересечения всех трех медиан треугольника, делящую их в отношении 2:1 считая от вершин.

Теорема о пересечении высот треугольника

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть ABC - данный треугольник (рис. 22). Пусть прямые,

содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются

в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную

отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки KLM не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника).

Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB-параллелограмм.

Следовательно,

MA = BC, MB = AC.

Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL.

Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр.

CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота

треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

Теорема: Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть О - точка пересечения биссектрис АА¹ и ВВ¹; D, E и F . основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на АВ, ВС и АС соответственно. Треугольники AOE и AOF равны по гипотенузе и острому углу, отсюда OE = OF.

Аналогично, из равенства треугольников BOF и BOD, получим OF = OD.

Следовательно, OE = OD, а значит, равны по гипотенузе и катету и треугольники OCD и OCE. Откуда следует, что ∠OCD = ∠OCE, т.е. СО - биссектриса угла DCE, а это означает, что третья биссектриса проходит через точку пересечения двух первых.

Теорема Чевы

Пусть на сторонах треугольника АВС выбраны точки _. Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство:

Пусть отрезки пересекаются в одной точке О. Проведём через вершину В треугольника прямую а параллельную АС. Пусть прямые пересекают прямую а в точках M и N соответственно.

Тогда из подобия треугольников АА₁С и МА₁В₁ по двум углам ( как накрест лежащие и как вертикальные) имеем:

Аналогично из подобия треугольников ВС₁N и АС₁С по двум углам ( и - как пары накрест лежащих):

Наконец, из подобия треугольников ОАС и OMN по двум углам ( и ) получаем:

Перемножив соответственно правые левые части вписанных

равенств, получим необходимое равенство.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник АВС и точки С₁,В₁А₁, на, соответственно, прямых АВ, АС и ВС. Точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Пусть прямая l пересекает прямые АВ, ВС, АС соответственно в точках С₁, А₁, В_1.Проведём произвольную прямую Р, пересекающую прямую l в точке N, а через точки А,В и С соответственно прямые a, b и c, параллельные прямой l и пересекающие р в точках K,L,M. По теореме о пропорциональных отрезках:

Перемножая равенства и, учитывая, что

получаем искомое равенство.

Теорема Дезарга

Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой

Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая.

Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим DАВС и точки U, V, W , лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что

Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A^/B^/), (В^/С^/), (А^/С^/) соответственно. Тогда для D SАВ и секущей (А^/В^/) имеем:

Для D SВС и секущей (В^/С^/) имеем:

Для D SАС и секущей (А^/С) имеем:

Умножим на и поделим на

Получаем:

В итоге получили равенство

Прямая Эйлера

Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера).

Дано:
М – точка пересечения медиан;
Н – точка пересечения высот;
О – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказать:
О, М, Н лежат на одной прямой

Доказательство: Проведём прямые, до их взаимного пересечения в точках А₁, В₁, С₁. Тогда АВА₁С, САС₁В, АВСВ₁- параллелограммы. ВС₁=ВА₁= АС; В₁С= А₁С= ВА. АА₁, ВВ₁, СС₁- диагонали, делят пополам стороны ВС, АС, АВ соответственно. Эти отрезки пересекаются в точке М, и

При гомотетии с центр в т М и k=-1/2 треугольник АВС переходит в А₁В₁С₁. Данная гомотетия переводит ц. О окружности, описанной около треугольника АВС, в точку Н, т. е. точки М, О и Н лежат на одной прямой. При этом точка М лежит между точками О и Н, и МН= 2МО

Следствие.

В треугольнике прямая, проходящая через точку пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности, называется прямой Эйлера. В треугольнике АВС справедливы равенства:

МН= 2 МО, ОН= 3МО

Вывод

В выводе я могу сказать о том, что я научилась решать задачи, применяя теоремы по данной теме. Они облегчают ход решения задач.

Список литературы

• И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г.

• Геометрия. Учебник для 7 – 9 кл. ср.школы. / Л.С. Атанасян и др.,М. : Просвещение, 1990.

• М.В. Ткачева  « Домашняя математика », М. : Просвещение, 1994.

• http://www.mathematics.ru/

• http://www.terver.ru