14.05.2020 р. 8 клас. Геометрія. Підготовка до директорської контрольної роботи за ІІ семестр 2019 - 2020 н. р.

1. У прямокутному трикутнику АВС гіпотенуза АВ дорівнює 8м, а катет АС – 4м. Знайдіть другий катет і гострі кути трикутника.

Розв'язання. За умовою в прямокутному трикутнику відомо гіпотенузу та катет. Використовуючи теорему Піфагора, знайдемо другий катет. ВС² = АВ² - АС²; ВС² = 8² - 4²; ВС² = 64 - 16 = 48; ВС = 4√3 см.

Так як АВ = 8 см, а АС = 4 см, то кут, що лежить проти катета АС дорівнює 30⁰. Отже, другий гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 90⁰ - 30⁰ = 60⁰.

Відповідь: 4√3; 30⁰; 60⁰.

2. Знайдіть катети і другий гострий кут прямокутного трикутника, гіпотенуза якого с = 15см і α = 40˚. Округліть довжини катетів з точністю до сотих.

Розв'язання. Знаючи один з гострих кутів прямокутного трикутника, знайдемо градусну міру другого. ß = 90⁰ - 40⁰ = 50⁰. Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи. Звідси, а = с · sin∝; а = 15 · sin 40⁰ = 15 · 0,6428 = 9.642 ≈ 9,64 (см). Косинусом гострого кута прямокутного три►кутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Звідси, b = c · cos 40⁰, b = 15 · 0,7660 = 11,49 (см).

Відповідь: 50⁰, ≈ 9,64 см, 11,49 см.

3. Дайте означення тангенса та косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

4. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого семикутника?

Розв'язання. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180⁰ (n - 2). Якщо n = 7, то 180⁰ (7 - 2) = 180⁰ · 5 = 900⁰.

Відповідь: 900⁰.

5. Знайдіть площу паралелограма, сторона якого дорівнює 12см, а висота, проведена до неї, – 7см.

Розв'язання. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони та висоти, яка проведена до цієї сторони.Отже, S = 12 · 7 = 84 (см²).

Відповідь: 84 см².

6. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 15см, а висота, проведена до основи, – 9см.

Розв'язання. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Знайдемо основу рівнобедреного трикутника. Висота ВК рівнобедреного трикутника АВС з основою АС, проведена до основи, є його медіаною. Знайдемо половину основи АС, використавши теорему Піфагора. АК² = АВ² - ВК²; АК² = 225 - 81 = 144, АК = 12 см. Основа АС = 2 АК; АС = 2 · 12 = 24 (см). Отже, S_ABC = ½ AC · BK; S_ABC = ½ · 24 · 9 = 108 (см²).

Відповідь: 108 см².

7. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 20 см, а одна з діагоналей на 8 см більша за другу.

Розв'язання. Використовуючи ключову задачу, знайду площу ромба через половину добутку його діагоналей. Нехай у ромба АВСД менша діагональ ВД = 2х см, а більша діагональ АС = (2х + 8) см. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і точкою перетину О діляться навпіл. Розглянемо трикутник АВС, у якого кут АОВ дорівнює 90⁰, та використаємо теорему Піфагора АВ² = АО² + ОВ²; 20² = х² + (х + 4)²; х² + х² + 8х + 16 = 400; 2х² + 8х - 384 = 0; х² + 4х - 192 = 0. За т. Вієта х₁ = -16 - не задовольняє умову задачі, х₂ = 12. Діагональ ВД = 12 · 2 = 24(см), а АС = 24 + 8 = 32(см). Отже, S_АВСД = ½ ВД · АС, S_АВСД = ½ · 24 · 32 = 384(см²).

Відповідь: 384 см².

14.05.2020 р. Підготуватись до директорської контрольної роботи за ІІ семестр 2019 - 2020 н. р. Повторити § 3 - 4. Виконати вправу № 853.