13.05.2020 р. 9 клас. Геометрія. Повторення. Правильні многокутники

Правильними називаються многокутники, в яких усі сторони та кути рівні.

На малюнку бачимо деякі правильні многокутники: трикутник, чотирикутник (квадрат), п'ятикутник і шестикутник.

Якщо в правильних опуклих многокутниках провести діагоналі, то утворяться правильні увігнуті многокутники: із діагоналей п'ятикутника отримаємо пентаграму, з діагоналей шестикутника — гексаграму, а з діагоналей семикутника — дві різні гептаграми.

Якщо провести всі діагоналі з однієї вершини, будь-який n-кутник можна поділити на n − 2 трикутники.

Отже, сума всіх внутрішніх кутів визначається за формулою 180°⋅(n−2).

Оскільки всі кути правильного n-кутника рівні, то величина одного внутрішнього кута дорівнює: 180°⋅(n−2) : n.

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати і вписати в нього коло. При цьому збігаються центри обох кіл, і цю точку називають центром многокутника.

Вписане коло належить усім сторонам, описане коло проходить через усі вершини.

∠AOH = 360°/n; ∠AOK = 360°/2n = 180°/n.

У трикутнику AOK пов'язані сторона a (половина сторони AK), радіус описаного кола OA = R і радіус вписаного кола OK = r.

a/2 = R⋅sin(180°/n); a = 2R⋅sin(180°/n); R = a/2sin(180°/n)

a/2 = r⋅tg(180°/n); a = 2r⋅tg(180°/n); r = a/2tg(180°/n).

r = R⋅cos(180°/n); R = r/cos(180°/n).

Оскільки n-кутник складається з n трикутників, рівних AOH, то:

S_n−уг.= n⋅S_AOK = n⋅(AH⋅r)/2 = p⋅r/2.

Для правильного трикутника і квадрата додатково діють усі формули, які були розглянено в курсі геометрії.

13.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу пункту 6. Виконати вправу № 21.24.