24. 04. 2020 р. 9 клас. Геометрія. Повторення. Подібність трикутників та їх застосування

Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні та сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника.

Лема про подібні трикутники. Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інші його сторони, відтинає від данрго трикутника йому подібний.

Перша ознака подібності трикутників

1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Якщо ∠B = ∠E і ∠C = ∠F, тоді ΔABC∼ΔDEF.

Друга ознака подібності трикутників

2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, утворені цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Якщо AB =DE, AC = DF і ∠A= ∠D, тоді ΔABC∼ΔDEF.

Третя ознака подібності трикутників

3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні.

Якщо AB = DE, BC = EF, AC = DF, тоді ΔABC∼ΔDEF.

Під час розв'язання задач спочатку потрібно переконатися, що дані трикутники подібні.

Якщо подібність трикутників не дано, її необхідно довести.

З геометричних фігур завжди подібні: всі квадрати, всі рівносторонні трикутники, всі кола та круги.

У завданнях шкільного курсу геометрії все-таки частіше будуть використані подібні трикутники. Далі розглянемо, як у різних ситуаціях утворюються подібні трикутники, або, як їх використовувати для розв'язання проблем.

Середня лінія трикутника

Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією цього трикутника.

Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.

EF∥AC та EF = ½AC.

У кожному трикутнику три середніх лінії.

Середні лінії DE, EF, DF.

Зверни увагу!

Даний трикутник ABC і трикутник FDE, утворений середніми лініями, подібні за ознакою подібності за трьома пропорційними сторонами.

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

Якщо в прямокутному трикутнику провести висоту до гіпотенузи, отримуємо три пари прямокутних трикутників за ознакою подібності про рівні кути, оскільки∡BAC+∡ACB=90° і ∡CBD+∡DBA=90°, отже, ∡BAC=∡CBD,∡ACB=∡DBA.

ΔABC∼ΔADB, ΔABC∼ΔBDC, ΔADB∼ΔBDC.

AB/AD = AC/AB = BC/DB, AB/BD = AC/BC = BC/DC,

АC/BC = BC/DC⇒ BC² = AC⋅DC, AD/BD=DB/DC ⇒ BD²=AD⋅DС.

Практичні додатки подібності трикутників

1. Визначення висоти важко вимірюваного предмета.

За допомогою жердини AC з планкою, що обертається, яка направляється до верхньої недоступної точки A₁, розглядаються подібні трикутники ABC і A₁BC₁.

2. Визначення відстані до недоступної точки.

Вимірюється відрізок AC, за допомогою необхідних інструментів вимірюються кути A і C, будується подібний трикутник A₁B₁C₁, в якому проводяться подальші вимірювання.

24. 04. 2020 р. Скласти конспект матеріалу. Виконати вправу. Бісектриса BD трикутникаABC ділить сторну AC на відрізки AD і DC, довжини яких відносяться як 3 : 5. Знайти сторони AB і BC, якщо їхня сума дорівнює 56 см.