ЕГЭ профиль. Исследование функций с помощью производной. Минимум и наименьшее значение

ЕГЭ профиль. Исследование функций с помощью производной. Минимум и наименьшее значение

Для решения подобных задач научитесь находить производную, а дальше все просто.

Минимум и максимум функции - это значение х

Наименьшее и наибольшее значение функции - это значение у (НЕ у')

Последовательность решения:

1. Находим производную исходной функции

2. Приравниваем ее к нулю и находим нули производной функции (решаем получившееся уравнение)

3. Определяем промежутки возрастания и убывания производной функции (подставляем значения из промежутков в производную и определяем знак результата)

4. Точка минимума - точка, где производная меняет знак с - на +, то есть перестает убывать и начинает возрастать.

5. Точка максимума - точка, где производная меняет знак с + на -, то есть перестает возрастать и начинает убывать.

6. Наименьшее значение функции - значение функции от минимума (минимум функции нужно подставить в исходную функцию и посчитать)

7. Наибольшее значение функции - значение функции от максимума (максимум функции нужно подставить в исходную функцию и посчитать)

Примечание. Бывает так, что на концах отрезка, заданного в условии, функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.

Рассмотрим пример.

Найдем производную. Так как функция представляет собой произведение двух более простых функций, воспользуемся формулой производной от произведения.

Находим производную от частей функции:

Обратите внимание на "-". Он получается от нахождения производной от степени.

Собираем выражение производной

Приравниваем к нулю и находим нули производной функции

Вычерчиваем числовую прямую, отмечаем на ней границы отрезка и ноль функции.

Получилось два интервала: от 7 до 9 и от 9 до 10.

Чтобы определить знак интервала и характер поведения функции, нужно значение из интервала подставить в производную.

Например, подставим число 8, которое принадлежит интервалу от 7 до 9. для интервала от 9 до 10, возьмем число 10:

Там, где производная больше нуля, функция возрастает, а где производная менье нуля, функция убывает.

Таким образом, 9 - максимум функции. В этой же точке функция принимает наибольшее значение:

Примечание. В тестах ЕГЭ, как правило, подбирают такие числа, чтобы при нахождении наименьшего или наибольшего значения, степень числа е становилась равной нулю, тогда е в нулевой степени равно единице.