Фрактал – не матрёшка

20 ноября 1924 года родился Бенуа Мандельброт - французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии.

Он родился в Варшаве в семье литовских евреев. Незадолго до войны семья уезжает в Париж, где жил дядя – математик Шолем Мандельбройт, член группы, известной под псевдонимом Николя Бурбаки. В 1940 семья бежит от немцев на юг Франции.

Оказалось, у Бени хорошее образное мышление – задачи по алгебре он решал геометрически, благодаря чему сразу после войны стал студентом. Потом уехал в США, в Париже получил степень доктора, женился и уехал в Швейцарию, в 1958 – снова в США, навсегда. Работая в IBM, он переключался с лингвистики на теорию игр, с аэронавтики на географию, с физиологии на физику. Прогнозируя цену на хлопок, он заметил подобие графиков при длительных и кратковременных колебаниях цен. Для порождаемых рекурсивно самоподобных множеств Бенуа придумал термин фрактал.

Размерность фрактала. Разбив куб на n = 8 кубиков, имеем коэффициент подобия r = 1/2, n ∙ r³= 1, размерность s = -log_rn = 3.

Заменяя рекурсивно отрезок на ломаную Коха из n = 4 отрезков при r = 1/3, получим s = log₃4 ≈ 1,26, её длина растёт до ∞.

Салфетка Серпинского: правильный треугольник рекурсивно делим на 4 меньших и удаляем средний. r = 1/2, n = 3, s = log₂3 ≈ 1,585, площадь → 0.

Множество Мандельброта M на комплексной плоскости впервые описал Фату(1905). Орбитой точки z₁ ∈ назовём последовательность z_n+1 = f (z_n), где f : z → z² + z₁. Фату показал, что у точек, лежащих от нуля на расстоянии больше 2, орбита уходит в бесконечность: |z₁| > 2 ⇒ |z_n| → ∞, а M — множество тех z₁,у которых орбита z_n при n→ ∞ ограничена. Очевидно, 0 ∈ M. Множество состоит из кардиоиды и бесконечного числа касающихся её овалов с убывающими диаметрами. Каждый из них имеет набор касающихся их овалов и т. д. В итоге получили фрактал. Используя компьютер, Мандельброт первым построил его границу.