Как хорошо в уме считать

Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало руки. Пальцы всегда при нас.

Рука человека – первая «счетная машина». Мальчик выгонял стадо, загибал пальцы, а когда загонял коз, то опять пересчитывал по пальцам и сравнивал, все ли пальцы он загнул. Пальцы были первыми условными знаками обозначения чисел. Так родилась идея использовать пальцы для обозначения чисел. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги, это означало двадцать.

Когда в пересчете участвовало много животных, то пальцы кончались, и возник вопрос, как обозначить десятки. Тогда обратились к зарубкам, камешкам.

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по-латински означает «камень»!

С развитием человека, зародилась торговля, появились купцы. Возникла необходимость совершать с числами действия, например, сосчитать количество мешков крупы и муки. Для этого стали использовать две бороздки на песке и мешочек с камешками. Правая колонка обозначает единицы, а левая – десятки. Положи пять камешков в правую бороздку. Каждый из них обозначает один мешок крупы. А в левую бороздку положи четыре камешка. Каждый будет обозначать десяток мешков. Камешки в обеих бороздках покажут, что у тебя есть 4 десятка и ещё 5 мешков – в целом 45. Ты обозначил число купленной крупы купцом на рынке. Чтобы прибавить 43 мешка муки, добавим три камешка в правую бороздку и четыре в бороздку с десятками. Сосчитав камешки в бороздках, получится ответ – 88 мешков всего купил купец.

Считая коз, пастушка, пересчитав все пальчики на руках, отложила один камешек в сторонку, после этого продолжила считать по рукам. С каждым десятком она откладывала камешек, когда стадо вышло из загона, то на земле лежало 4 камешка и загнутыми оказались восемь пальчиков. Таким образом, она выгнала на пастбище 48 коз.

Когда Робинзон Крузо в книге писателя Дефо остался на необитаемом острове, он вел своеобразный календарь. Для этого он на врытом в землю столбе каждый день делал короткую зарубку, а через каждые 30 дней делал зарубку длиннее. Так Робинзон считал дни и месяцы, проведенные на острове.

В России сохранилось выражение: «Заруби себе на носу». Оно говорит о том, что для запоминания чего-либо важного следует сделать зарубку. Слово «нос» в данном случае произведено от слова «носить». В старые времена многие люди носили при себе для зарубок небольшие палочки. Называли их «нос», а чтобы запомнить нужное число, делали на «носу» соответствующее число зарубок – меток.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки после окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции».

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу.

Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память

Глава II Легко и просто

Рассмотрим наиболее быстрые и удобные способы устных вычислений.

1. Умножение чисел на 101, 1001, 10001 и т.д.

Чтобы любое двузнчное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. 39 х 101 = 3939; 45 х 101 = 4545; 56 х 101 = 5656; 91 х 101 = 9191.

Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число. 542 х 1001 = 542 542; 723 х 1001 = 675 675; 967 х 1001 = 967 967.

Чтобы четырёхзначное число умножить на 10001, надо к этому числу справа приписать это же число: 4325 х 10001 = 43254325, и так далее.

Например, 754238 х 1000001 75423875423.

2. Умножение на 5.

Возьмём любое число и разделим его на 2. Если в результате получилось целое число, припишем в конце ноль. Если нет, не обращая внимание на запятую. припишем в конце цифру пять.

Умножим 4642 на 5. Решение: 4642 : 2 = 2321 (целое число, поэтому припишем справа ноль). Получится 23210.

Умножим 3483 на 5. Решение 3483 : 2=1741,5 (дробное число, пропустим запятую и припишем справа 5). Получится 17415.

3. Умножение на 9.

I способ Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрим на руки. Загнём палец, который соответствует умножаемому числу (например 9∙4 – загнём четвёртый палец), посчитаем количество пальцев до загнутого (в случае 9∙4 – это 3), затем после загнутого пальца (в нашем случае – 6).

Ответ: 36.

II способ Умножать числа на 9 можно ещё и так. Например, 8∙9=8∙10-8=72, т.е. некоторое число умножить на десять, и из полученной суммы вычесть это же число.

4. Умножение на 11.

1. Выполнить умножение 35∙11.

• Складываем две цифры двузначного числа 3 + 5 = 8.
• Помещаем результат между двумя цифрами двузначного числа: 385

2. Умножить 67 ∙11.

• 6 + 7 = 13
• Если сумма оказалась больше 9, то первую цифру числа увеличиваем на единицу (в данном случае получится 7), а вторую помещаем в середину двузначного числа.
• 67 х 11= 6 (6+7) 7 = 6 (13) 7= (6+1) 37 = 737. 4. Быстрое возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Вычислить 75²= 75∙75.

1. Умножаем первую цифру первого числа на первую цифру, увеличенную на единицу, второго числа: 7 ∙ (7 + 1) = 56.

2. Дописываем к получившемуся результату 25: 5625.

5. Умножение на 4 и на 8

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

214∙4 =214∙2∙2=428∙2=856

435∙4 = 435∙2∙2 =870∙2=1740

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

113∙8 = 113∙2∙2∙2=226∙2∙2=452∙2=904

Ещё можно поступить следущим образом: 113∙8=(100+13)∙8 = 100∙8+ 13∙8=800+104=904.

6. Деление на 4 и на 8

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

96:4 =96:2:2=48:2=24

544:4=544:2:2=272:2=136

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=464:2:2:2=232:2:2=116:2=58

516:8=516:2:2:2=258:2:2= 129:2=64,5

7. Умножение на 1,5, на 1,25, на 2,5, на 0,75.

1) Чтобы устно умножить число на 1,5, нужно прибавить к данному числу его половину. Например:

52∙1,5= 52 + 26=78

23∙1,5=23 + 11,5 = 34,5

2) Чтобы устно умножить число на 1,25, нужно прибавить к данному числу его четвёртую часть. Например:

48∙1,25 =48 + 12=60

58∙1,25 = 58+14,5= 72,5

3) Чтобы устно умножить число на 2,5, нужно:

I способ данное число умножить на два, а затем к полученному результату прибавить половину данного числа.

Например: 38∙2,5.=38∙2+19= 76+19=95;

29∙2,5= 29∙2 + 14,5= 59+14,5= 73,5

II способ умножить данное число на 5, а затем поделить пополам

16∙2,5= 16∙5:2 = 80:2=40

4) Чтобы устно умножить число на 0,75 (т. е. чтобы найти ³/₄ этого числа), нужно прибавить к этому числу его половину, затем полученную сумму поделить пополам. Например:

48∙0,75 = (48+24):2= 36

8. Деление на 5.

Делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, - это умножить чсло на два и перенести запятую влево на один знак. Например, 385:5 1. 385∙2 = 770 2. Переносим запятую: 39,0 или просто 39.

9. Умножение двузначных чисел, меньших 20.

Чтобы перемножить двузначные числа, меньшие 20, нужно к одному из данных чисел прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:

17•14=(17+4) • 10+7•4= 210+28=238.

Данным способом также можно умножать двузначные числа, в которых одинаковое количество десятков: 32•34 = (32+4) • 30+2•4=36•30+8=1080+8=1088.

11. Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

17 •22= 17•2•11=34•11=374.

12. Возведение в квадрат чисел, близких к 50, и больших 50.

Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 50, и большее 50, нужно:

1) вычесть из этого числа 25;

2) вычесть из этого числа 50;

3) приписать к результату первого действия квадрат результата второго действия.

Например, вычислить 56².

Решение: 56 – 25 = 31, 56–50 = 6, 6²= 36, 56² =3136.