Олимпиада по математике 8 класс

Задача 1. Какой цифрой оканчивается сумма 9²⁰¹⁶ + 9²⁰¹⁷ ?

Решение: 9²⁰¹⁶ + 9²⁰¹⁷ = 9²⁰¹⁶( 9 + 1) = 9²⁰¹⁶* 10.

Ответ: Нулем.

Задание 2. График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение : Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.

Ответ: y = x + 3

Задание 3. ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM. Решение : По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90 + 45 = 135.

Ответ: 135

Задание 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется неравенство AB + BD < AC + CD. Докажите неравенство AB < AC

Решение: Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD. По неравенству треугольника AO + BO > AB, OC + OD > CD, откуда (AO + OC) + (BO + OD) > AB + CD, или (после преобразований) AB + CD < AC + BD. Сложив это неравенство с данным в условии, получим: 2AB + BD + CD < 2AC + CD + BD, откуда AB < AC.

Задание 5. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Решение: допустим, что нет