Тема: «Теорема Фалеса»

.

Цели:

Образовательные:

- рассмотреть теорему Фалеса и её доказательство;

- закрепить теорему Фалеса в процессе решения задач;

- совершенствовать навыки решения задач на применение знаний по теме «Трапеция»

Воспитательные:

- формирование способностей анализировать свои действия, умения внимательно слушать

Развивающие:

Развитие логического мышления, воображения, памяти, кругозора, умения рассуждать и аргументировать.

Оборудование: доска, циркуль, линейка, треугольник, компьютер, проектор, экран, презентация.

Ход урока.

1. Сообщение темы и целей урока.

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Тема сегодняшнего урока «Теорема Фалеса». Вы не только познакомитесь с этой теоремой, её доказательством, но также увидите, где можно ее применить.

Предлагаю выполнить такое задание: разделить отрезок на две, четыре, три части с помощью циркуля. (Учащиеся выходят к доске и показывают)

Перед вами стоит проблема деления отрезка на три равные части, а ученые столкнулись с проблемой деления отрезка на равные части много веков назад. И, конечно, они нашли выход из положения.

И чтобы нам сегодня справиться с возникшей задачей, докажем одну из важнейших теорем геометрии, которая называется Теорема Фалеса. Кем же был Фалес, что в его честь даже названа теорема в геометрии?

Фалес Милетский – древнегреческий философ из г. Милета (Малая Азия – территория современной Турции). Сведения о его жизни до сих пор носят противоречивый характер, но считается, что:

- именно он привез геометрию из Египта и познакомил с нею греков; его последователи и ученики основали Милетскую школу;

- именно его греки уже в древности называли «отцом философии»;

- именно он «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент;

- именно он ввёл календарь по египетскому образцу, в котором год состоял из 365 дней.

- одна из легенд гласит, что будучи в Египте, Фалес поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно измерить высоту пирамиды. Как вы думаете, как он это сделал? Дождался пока длина тени от палки станет равной самой палке, значит и тень от пирамиды равна будет самой пирамиде;

- он предсказал солнечное затмение в мае 585 года до н.э.

Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ученый первый стал доказывать геометрические теоремы:

1. круг делится диаметром пополам;
2. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
3. при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны;
4. два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

Вот такой был Фалес Милетский, в честь которого названа теорема в геометрии и эту теорему мы сегодня и рассмотрим.

1. Изучение нового материала.

Помощь в доказательстве Теоремы Фалеса нам окажет задача № 384, которую мы сейчас решим. (презентация)

Задача. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Доказательство.

1. Проведем DC║АВ.
2. Рассмотрим Δ AMN и ΔNDC.

1. AM = MВ (по условию), МВ = DC (как противоположные стороны параллелограмма BMDC), поэтому AM = DC.
2. Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и MD)

Из 1) и 2) → Δ AMN = ΔNDC, значит AN = NC, что и требовалось доказать.

Какой вывод из этой задачи мы можем сделать?

Если в треугольнике через середину одной стороны провести прямую, параллельную одной из двух других сторон, то эта прямая пройдет через середину третьей стороны.

Теорема Фалеса: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки».

Доказательство:

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, …. Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, … равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.

1. Пусть l₁║l_2. Тогда А₁А₂ = В₁В₂, А₂А₃ = В₂В₃, как противоположные стороны параллелограммов А₁ В₁В₂ А₂ и А₂В₂В₃А₃. Т.к. А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃.
2. Если l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведем прямую l║ l₁. Она пересечет прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках C и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по ранее доказанному В₁С = СD. Отсюда получаем В₁В₂ = В₂В₃.

Теорема доказана.

1. Закрепление пройденного материала.

Решение задач на готовых чертежах.

1. Практическая работа.

Разделить отрезок на 5 равных частей.

1. Итоги урока.

- С какой теоремой вы сегодня познакомились?

- На сколько частей вы теперь можете разделить данный отрезок?

Собрать из кусочков Теорему Фалеса.

1. Домашнее задание.

Решить задачу № 391

Выучить доказательство теоремы Фалеса

(см. запись в тетради или задачи № 384, 385)

Выполнить практическую работу:

Разделить отрезок на 11 равных частей