Логика и математика. Лев Дмитриевич Беклемишев

Логика как наука — предмет почти такой же древний, как и математика. В античное время и средние века она была составной частью тривиума (грамматика, риторика, логика/диалектика) — базового уровня образования; математические же предметы (арифметика, геометрия, астрономия и музыка) составляли следующий, более продвинутый, уровень, называемый квадривиум. (От слова «тривиум» происходит одно из любимых математиками выражений «тривиально».) Предметы тривиума понимались как науки о том, как правильно, без ошибок, писать, говорить и, соответственно, рассуждать. Мы расскажем о том, как и почему возникла математическая логика, что она изучает, какие у неё есть достижения и современные применения. От Аристотеля к Булю. Основы учения о правильных рассуждениях заложил Аристотель. Он заметил, что корректные умозаключения следуют определённым элементарным схемам, называемым силлогизмами, и перечислил ряд таких схем. (Классический пример силлогизма: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен».) Учение о силлогизмах в свою очередь опиралось на глубокий анализ понятий и их соединения в высказывания. Силлогистика Аристотеля была не лишена недостатков, однако в целом была выдающейся теорией и стала основой изучения логики на протяжении античности и средних веков. В трудах античных стоиков и средневековых схоластов она была модифицирована и дополнена. В таком виде аристотелевская логика дошла вплоть до середины XIX века, где и встретила революцию, связанную с проникновением в логику математических методов. Возникновение математической логики полностью изменило представления учёных как о методах исследования логики, так и о том, что составляет сам предмет её изучения. В наше время заявления, что логика есть наука о правильных рассуждениях, кажутся настолько же справедливыми, насколько утверждение «математика — это наука о правильных вычислениях». Аналогия между рассуждениями и вычислениями несколько глубже, чем кажется на первый взгляд. Возникновение логики как математической науки было связано с работами британских учёных Джорджа Буля и Августа де Моргана, которые обнаружили, что с логическими высказываниями можно оперировать как с алгебраическими выражениями. Например, если сложение читать как логическую связку «или», умножение как «и», а равенство как «равносильно», то для любых высказываний, выполняются законы a+b=b+a как и многие другие привычные нам законы арифметики. Но, помимо этого, в алгебре высказываний выполняется и кое-что непривычное, например всегда и a + a = a

Такой взгляд на логику высказываний и силлогистику оказался и неожиданным, и плодотворным. В наше время эту точку зрения разрабатывает область, называемая алгебраической логикой, а одним из её центральных понятий является понятие булевой алгебры, названной так в честь её первооткрывателя. Эта область исследований, через понятие реляционной алгебры, обобщающей булеву, привела в 1960‐х годах к теории реляционных баз данных, в наше время лежащей в основе самых распространённых языков запросов, таких как SQL. Читать полностью: Математика и логика / Статьи — Математическая составляющая