Математика колебаний

Периодические процессы и колебания

Многие процессы в окружающем нас мире повторяются: восход солнца, вращения звёзд, разливы рек, биение сердец и т.д. Большинство периодических процессов связаны с колебаниями. Колебания возможных видов окружают нас на каждом шагу: электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложнейших процессах, происходящих внутри звёзд, используются для радио, телевидения, связи с космическими кораблями; акустические колебания нужны для приёма и воспроизведения звука; механические колебания применяют в строительстве, например: для укладки бетона, просеивания материалов на виброситах, в медицине – для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах и т. д.

Характеристика колебательных процессов «Математика это искусство называть разные вещи одним и тем же именем» Пуанкаре

Физическая картина колебательных процессов различна, однако математически их можно охарактеризовать с помощью тригонометрических функций, как дифференциальное уравнение гармонического колебания. Например, если в механическом колебании вместо массы брать заряд, вместо скорости – силу тока, вместо сопротивления среды - сопротивление проводника, вместо жёсткости пружины – индуктивность катушки и т. д., то речь пойдёт об электрических колебаниях. В свою очередь воспользовавшись тем, что движение электрических зарядов сродни движению жидкости и измеряя напряжение и ток в различных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее всего поставить буровую вышку, чтобы, к примеру, усилить выход нефти и т.п.

Негативные последствия колебаний или мотивация изучения гармонических колебаний

Колебания не всегда полезны, например: вибрация станка действует на резец и может привести к браку обрабатываемую деталь; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности; вибрация самолётных крыльев при неблаго - приятных условиях может привести к катастрофе. А самое страшное - под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой усталости и последующему неожиданному разрушению конструкции, с колебаниями связаны случаи падения мостов, по которым шли в ногу воинские подразделения, катастрофы в кузнечных цехах при одновременной работе в такт нескольких молотов. Колебания нужно знать, изучать их свойства, чтобы держать под контролем. Без математических расчётов амплитуды, частоты, начальной фазы и периода колебаний невозможно решать вопросы безопасности колебательных процессов.

Из истории тригонометрии…

Для математического описания теории колебаний используются тригонометрические функции, но придумывали эти функции для других целей – они были нужны строителям и землемерам, астрономам и мореходам для расчёта соотношений между сторонами и углами треугольников (само слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «тригоном» - треугольник и «метрео» - измеряю). Древнегреческие астрономы составили подробные таблицы зависимости длины хорды от центрального угла и придумали как с их помощью вычислить элементы треугольника,таблицы хорд составлены Гиппархом, жившим в Александрии во II-м веке до н.э., и пополнены Менелаем (I век до н.э.). Это были, по сути дела, таблицы синусов. Эти исследования продолжили арабские учёные и лишь в XIII веке живший в Иране математик Насреддин Туси стал изучать соотношения между сторонами и углами треугольников как самостоятельную область. К арабской математике восходит и название «синус». При переводе на латинский язык арабское слово «джайб» ( впадина) переводчики не разобравшись перевели как «sinus», по - латински слово «залив». Одним из простейших видов колебаний является движение по оси ОХ проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Такие колебания называются гармоническими или синусоидальными.

Резонанс колебаний

Увеличение амплитуды, вызванное близостью частот возбуждающей силы и собственных колебаний, называют резонансом (сложение амплитуд колебаний одной частоты, если совпадают и начальные фазы)

Впервые явление резонанса было замечено для акус- тических колебаний – при пении или ударе по струне гитары начинал звучать соответственно настроенный камертон. Однако вскоре резонанс заинтересовал не только музыкантов и настройщиков роялей. Когда появились станки с быстро вращающимися частями, паровые турбины и т.д. начали происходить необъясни- мые катастрофы. При определённой скорости вращения станок содрогался с такой силой, что обрабатываемая деталь шла в брак, а в худшем случае сам станок раз- летался на части. Такие же катастрофы возникали с турбинами - при плохой центровке возникала центро- бежная сила, периодически раскачивающая опоры.

Но резонанс имеет и полезные стороны, например: настройка радиоприёмника в резонанс с несущей частотой радиопередачи и т. д.

Сложение колебаний

1-й случай: если колебания имеют одинаковую частоту и одну и туже начальную фазу, а также одинаково направлены, то амплитуды колебаний складываются ( резонанс колебаний) Энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуд. При сложении двух одинаковых колебаний их энергия увеличивается не в два, а в четыре раза. 2-й случай: при сложении противоположно направленных колебаний с одинаковой амплитудой может случиться, что в сумме получим не колебание, а покой, если амплитуды различны, то получим колебание с небольшой энергией. В общем случае амплитуда результирующего колебания лежит между разностью и суммой амплитуд складываемых колебаний.

Биения

При сложении колебаний с различными частотами выде- ляют случаи, когда частоты мало отличаются друг от друга. Такие колебания называют биениями. Их иногда неточно, но наглядно описывают как гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Иногда мы не воспринимаем слагаемые колебаний из- за того, что их частота слишком велика, но замечаем медленное изменение амплитуды суммарного колебания. Например, если электрическая лампочка присоединена к источнику питания, дающему переменный ток с периодомТ=0,02 с, то изменения в яркости лампочки будут незаметными. Если же присоединить эту лампочку к двум источникам питания, периоды которых мало отличаются друг от друга, то возникнут биения и лампочка начнёт мигать. Интересный пример биений дают океанские приливы и отливы. Из-за притяжения Луны и Солнца уровень воды в океане всё время меняется. Примерно через каждые 12 часов уровень воды достигает max и затем через 6 часов после этого уровень воды достигает - min.

Выводы математики колебаний

Для колебаний характерно изменение величин в двух противоположных направлениях ; Колебания характеризуются своей повторяемостью – периодичностью. Вместо периода Т можно рассматривать обратную ему величину - частоту колебания, показывающую сколько раз повторяется данное колебание за единицу времени; Если колебательный процесс перемещается в пространстве, то возникают волны; Важной характеристикой колебательных процессов является их амплитуда, т.е. размах колебаний; Каждое колебание совершается около некоторого среднего положения. Не трудно догадаться, что маятник колеблется около своего положения равновесия.